Yo'qolib bo'lmaydigan muammolar: Navier-Stokes tenglamalari, Hodge gipotezasi, Riemann gipotezasi. Mingyillik maqsadlari

Noma'qul vazifalar 7 ta qiziqarli matematik muammo. Ularning har biri o'z vaqtida mashhur olimlar tomonidan taklif qilingan, odatda faraz shaklida. O'nlab yillar davomida, ularning qarorlari bo'yicha, butun dunyo bo'ylab matematika rahbarlarini buzib tashlashmoqda. Muvaffaqiyatga erishganlar Clay instituti tomonidan taqdim etilgan million dollarlik mukofot bilan mukofotlanadi.

Prehistorik

1900 yilda buyuk nemis matematigi boshlig'i Devid Gilbert 23ta savolni taqdim etdi.

Ularni hal qilish uchun olib borilgan tadqiqotlar XX asr ilmiga katta ta'sir ko'rsatdi. Ayni paytda ularning ko'pchiligi allaqachon zinoga aylangan. Halol bo'lmagan yoki hal qilinmagan qisman qolganlar orasida:

• Arifmetik aksiyalarning mustahkamligi;
• Har qanday raqamli maydonda mutanosiblikning umumiy qonuni;
• Fizik aksiyalarni matematik o'rganish;
• O'zboshimchalik bilan algebraik sonlar koeffitsientlari uchun kvadratik shakllarni o'rganish;
• Fedor Shubertning hisob-kitob geometriyasini qat'iy asoslash muammosi;
• Va boshqalar.

Quyidagilar kutilmagan: har qanday algebraik domenga mashhur Kronecker teoremasining ratsionalligi va Riemann farazini kengaytirish muammosi.

Clay instituti

Ushbu nom ostida, shtab-kvartirasi Kembrij, Massachusetts shtatida joylashgan xususiy notijorat tashkiloti ma'lum. 1998-yilda Garvard matematikasi A. Jeffey va tadbirkor L. Clay tomonidan tashkil etilgan. Institutning maqsadi matematik bilimlarni ommalashtirish va rivojlantirishdir. Bunga erishish uchun tashkilot olimlar va homiylarga va'da qilgan tadqiqotlarga mukofot beradi.

XXI asrning boshlarida Gil matematikasi instituti eng murakkab muammolarni hal qiladigan muammolar echimini topayotganlarga o'zlarining ro'yxatini Mingyillik mukofoti muammolarini chaqirishga mukofot berdi. "Xilbert ro'yxati" dan faqat Riemannning gipotezasiga kirdi.

Mingyillik maqsadlari

Clay institutining ro'yxati quyidagicha edi:

• Hodge tsikllari gipotezasini;
• Kvant Yang-Mills nazariyasining tenglamalari;
• Poincare gumoni ;
• P va NP sinflarining tengligi muammosi;
• Riemann farazi;
• Navier Stokes tenglamalari, uning echimlarining mavjudligi va silliqligi haqida;
• Birch-Swinnerton-Dyer muammosi.

Ushbu ochiq matematik muammolar katta qiziqish uyg'otmoqda, chunki ular ko'plab amaliy qo'llanmalarga ega bo'lishlari mumkin.

Grigoriy Perelman nimani isbotladi?

1900 yilda taniqli faylasuf Henri Poincaré, cheksiz, oddiygina uch o'lchamli uch o'lchamli har qanday manifolda 3 o'lchovli sohaga homomorfik ekanligini aytdi. Umumiy holatda uning isbotlari bir asrga to'g'ri kelmagan. Faqat 2002-2003 yillar mobaynida Peterburg matematigi G. Perelman Poincare muammosining echimi bilan bir qator maqolalar chop etdi. Ular portlatilgan bomba ta'sirini yaratdilar. 2010 yilda Poincarining gipotezasi Clay institutining "Xech qanday muammolari" ro'yxatidan chiqarildi va Perelmanning o'zi qarorining sabablarini tushuntirmasdan, unga rad javobini berishni so'radi.

Rus matematikining isbotlashi mumkin bo'lgan eng maqbul tushuntirishi, rezina sumkaning bodelga o'ralganligini tasavvur qilish orqali berilishi mumkin, so'ngra aylananing chetlarini bir nuqtaga tortishga harakat qiladilar. Shubhasiz, bu mumkin emas. Yana bir narsa, agar siz bu tajribani to'p bilan qilsangiz. Bunday holatda, diskdan olinadigan uch o'lchamli sfera, gipotetik sim bilan tortib olingan nuqtaga oddiy odamni tushunishda uch o'lchovli bo'ladi, lekin matematik jihatidan ikki o'lchovli bo'ladi.

Poincare, uch o'lchamli sohaning uch o'lchamli "ob'ekt" ekanligini, uning yuzasi bir nuqtaga tortilishi mumkinligini va Perelman buni isbotlashga muvaffaq bo'ldi. Shunday qilib, bugungi kunda "Ishonchsiz vazifalar" ro'yxati 6 ta muammolardan iborat.

Yang-Mills nazariyasi

Ushbu matematik muammo 1954 yilda yozuvchilar tomonidan taklif qilingan. Nazariyaning ilmiy formulasi quyidagicha: har qanday oddiy ixcham o'lchagich guruhi uchun Yang va Mills tomonidan yaratilgan kvant uzay nazariyasi mavjud va u erda nol ommaviy kamchilik mavjud.

Oddiy insonga tushunarli tilda gapirish tabiiy ob'ektlar (zarralar, jismlar, to'lqinlar va boshqalar) orasidagi o'zaro bog'liqlik to'rt xilga bo'linadi: elektromagnit, gravitatsion, zaif va kuchli. Ko'p yillar davomida fiziklar umumiy maydon nazariyasi yaratishga harakat qilishdi. Bu barcha shovqinlarni tushuntirish vositasi bo'lishi kerak. Yang-Mills nazariyasi matematik til bo'lib, uning yordamida tabiatning 4 ta asosiy qudrati 3 ni ta'riflashga imkon berildi. Bu tortishish uchun tegishli emas. Shu sababli, Yangu va Mills maydon nazariyasi yaratilishida muvaffaqiyat qozondi.

Bundan tashqari, tavsiya etilgan tenglamalarning noaniqligi ularni juda qiyin qilishadi. Kichik birlashma sog'lomligi uchun ular taxminan bir qator tebranish nazariyasi shaklida hal qilinishi mumkin. Shu bilan birga, bu tenglamalarni kuchli bog'lanish uchun qanday hal qilish mumkinligi aniq emas.

Navier-Stokes tenglamalari

Ushbu iboralar yordamida havo oqimlari, suyuqliklar oqimi va turbulentlik kabi jarayonlar tasvirlangan. Ayrim hollarda, Navier-Stokes tenglamasining analitik echimlari topilgan, ammo bu umumiy uchun hali qilinmagan. Shu bilan birga tezlik, zichlik, bosim, vaqt va hokazolarning aniq qiymatlari uchun raqamli simulyatsiya sizga yaxshi natijalarga erishishga imkon beradi. Birinchidan, Navier-Stokes tenglamalarini qarama-qarshi yo'nalishlarda qo'llash mumkin, ya'ni ularni ishlatish parametrlarini hisoblash yoki echim uslubi yo'qligini isbotlash mumkin.

Birch-Swinnerton-Dyer muammosi

"Xatlanmagan muammolar" toifasi shuningdek, Kembrij universitetining ingliz olimlari tomonidan taklif qilingan gipotezani ham o'z ichiga oladi. Hatto 2300 yil muqaddam qadimgi yunon olimi Euclid x2 + y2 = z2 tenglamalarining to'liq tavsifini berdi.

Agar har bir boshlang'ich raqam uchun modul bo'yicha egri nuqtalari sonini hisoblasak, biz cheksiz integrallar to'plamini olamiz. Agar biz maxsus "yopishqoqlik" ni murakkab o'zgaruvchilardan biriga aylantirsak, L. tomonidan ko'rsatilgan uchinchi darajali egri uchun Hasse-Veyl zetaning funktsiyasini olamiz.

Brian Birch va Piter Swinnerton-Dyer elliptik chiziqlar bilan bog'liq farazni ilgari surdi. Unga ko'ra, strukturasi va uning ratsional echimlari soni birlikdagi L-funktsiyasining xatti-harakati bilan bog'liq. Hali ko'rsatilmagan Birch-Swinnerton-Dyer kontseptsiyasi uchinchi darajali algebraik tenglamalarning tavsifiga bog'liq va elliptik egri darajasini hisoblash uchun yagona oddiy oddiy usuldir.

Ushbu vazifaning amaliy ahamiyatini tushunish uchun elliptik chiziqlar bo'yicha zamonaviy shifrlashda assimetrik tizimlarning butun klassi asoslanadi va ularni qo'llashda mahalliy raqamli imzo standartlari asoslanadi, deyish kifoya.

P va np sinflarining tengligi

Qolgan "Ming yillik muammolari" faqat matematik bo'lsa, u holda bu hozirgi algoritm nazariyasi bilan bog'liq. P va np sinflari teng huquqliligi bilan bog'liq muammo, shuningdek, Kuk-Levin muammosi sifatida ham ma'lum bir tilda quyidagi tarzda shakllantirilishi mumkin. Muayyan savolga ijobiy javobni tezda, ya'ni polinomiy davrda (PV) tekshirish mumkin. So'ngra, uning javobini tezda topish mumkinligini to'g'rimi? Hatto oddiyroq, bu muammoni quyidagicha eshitadi: muammo echimini topishdan ko'ra osonroq tekshirish mumkinmi? P va np sinflarining tengligi isbotlansa, PV uchun barcha tanlov muammolarini hal qilish mumkin. Ko'pgina ekspertlar bu bayonotning haqiqatiga shubha qilishadi, garchi ular buning aksini isbotlay olmasalar ham.

Riemann farazi

1859 yilgacha tabiiy sonlar orasida qanaqa sonlar taqsimlanganligini tasvirlaydigan biron bir uslub paydo bo'lmadi. Ehtimol, buning ilmi fanning boshqa masalalar bilan shug'ullanishi bilan bog'liq. Biroq, 19-asrning o'rtalariga kelib vaziyat o'zgargan va matematika bilan shug'ullana boshlagan eng dolzarb masalalardan biri bo'lgan.

Bu davrda paydo bo'ladigan Riemann gipotezasi prinsiyalarni taqsimlashda aniq muntazamlik borligi taxminidir.

Bugungi kunda ko'pgina zamonaviy olimlar, agar isbotlangan bo'lsa, elektron tijorat mexanizmlarining muhim qismini tashkil etuvchi zamonaviy kriptografiyaning asosiy printsiplari qayta ko'rib chiqilishi kerak.

Riemannning gumoniga ko'ra, boshlang'ich raqamlarni taqsimlash tabiati hozirgi paytda mavjud bo'lgan narsalardan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Haqiqat shundaki, hozirgi kunga qadar asosiy raqamlarni tarqatishda hech qanday tizim topilmadi. Misol uchun, ikkita teng bo'lgan "egizak" muammosi mavjud. Bu raqamlar 11 va 13,29 ni tashkil qiladi. Boshqa toifalar klasterlarni hosil qiladi. Bu 101, 103, 107, va hokazo. Olimlar uzoq vaqtdan bu qadar katta miqdordagi boshlang'ich raqamlar orasida bunday guruhlar borligiga shubha qilishgan. Agar ular topilsa, zamonaviy kripto kalitlarining moyilligi haqida gap ketadi.

Hodge sikllari haqida faraz

Ushbu hal qilinmagan muammo 1941 yilda tuzilgan. Hodge gipotezasi har qanday narsaning shaklini "oddiy birlashma" bilan yanada kengroq o'lchamdagi "bir-biriga yopishtirish" orqali taxmin qilish mumkinligini ko'rsatadi. Ushbu usul tanilgan va muvaffaqiyatli ishlatilgan. Biroq, qancha soddalashuvni amalga oshirish mumkinligi ma'lum emas.

Endi siz haligacha qanday muammolar mavjudligini bilasiz. Ular dunyodagi minglab olimlarning tadqiqot mavzusidir. Yaqin kelajakda ular hal qilinadi va ularning amaliyotga tatbiq etilishi insoniyatga texnologik rivojlanishning yangi bosqichiga o'tishiga yordam beradi deb umid qilish kerak.