Kramer uslubi va uni qo'llash

Cramer uslubi - linear algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) hal qilishning aniq usullaridan biridir . Uning aniqligi sistemaning matritsasini belgilovchi omillardan, shuningdek, teoremani tasdiqlash jarayonida qo'llaniladigan muayyan cheklovlardan kelib chiqadi.

X1, x2, ..., xn noma'lum bo'lgan R-raqamlariga tegishli bo'lgan koeffitsientlari bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi - shakllarning ifodalari to'plami

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi uchun i = 1, 2, ..., m, (1)

Aij, bi haqiqiy raqamlar. Ushbu ifodalarning har biriga lineer tenglama, noma'lum uchun aij - koeffitsient, tengsizliklar bi - erkin koeffitsientlari deyiladi.

Tizimdagi (1) eritmasi x1, x2, ..., xn noma'lum tizimlar o'rniga tizimga almashtirilganda n-o'lchovli vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), tizimdagi satrlarning har biri haqiqiy tenglikka aylanadi .

Agar tizimning kamida bitta echimiga ega bo'lsa va uning echimi bo'sh koeffitsiyentga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda mos kelmaydi.

Shuni esda tutish kerakki, Cramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun sistema matritsalari kvadratga ega bo'lishi kerak, bu tizimda ma'lum miqdordagi noma'lum va tenglamalarni anglatadi.

Shunday qilib, Cramer usulini qo'llash uchun hech bo'lmaganda chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining matritsasi va qanday yozib olinganligini bilish kerak. Va ikkinchidan, matritsaning determinanti deb nomlangan narsani tushunish va uni hisoblash qobiliyatlarini bilish.

Sizda bu ma'lumotga egamiz. Ajoyib! Keyinchalik Kramer uslubini belgilaydigan formulalarni eslab qolishingiz kerak. Xotirani soddalashtirish uchun biz quyidagi belgidan foydalanamiz:

• Det sistem matritsasining asosiy determinanti;

• Deti sistemaning asosiy matritsasidan olingan matritsaning determinantidir, agar matritsaning i-ustunini ustunli vektor bilan almashtirsak, elementlari chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining o'ng tomonlari bo'lsa;

• N - tizimdagi noma'lum va tenglamalar soni.

Keyinchalik n-o'lchovli vektorning i-qismini xi (i = 1, ... n) hisoblash uchun Kramer qoidasi shaklda yozilishi mumkin

Xi = deti / Det, (2).

Det, albatta, nolga teng emas.

Tizimning moslashuvchanligi tizimning asosiy determinantining nolga teng bo'lishini ta'minlaydi. Aks holda, kvadrat tenglama (xi) keskin ijobiy bo'lsa, kvadrat matritsali SLAE barqaror bo'lmaydi. Ayniqsa, deti ning kamida bittasi noldan farqli bo'lsa, bu sodir bo'lishi mumkin.

1-misol . Kramerning formulalarini foydalanib, LUUning uch o'lchovli tizimini eching.
X1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Qaroringiz. Tizim chizig'ining matritsasini satr bo'yicha yozamiz, bu erda matrining I-satridir.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
Erkin koeffitsientlarning ustuni b = (31 29 10).

Det tizimining asosiy determinanti hisoblanadi
A22 A21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Det1ni hisoblash uchun biz a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3 o'rnini bosamiz. Keyin
Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Xuddi shunday, det2 ni hisoblash uchun, biz det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3 ni hisoblash uchun, a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 va shunga mos ravishda o'zgarishdan foydalanamiz.
Keyin det2 = -108 va det3 = -135 ni tekshirishingiz mumkin.
Kramerning formulalariga ko'ra x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5 ni topamiz.

Javob: x ° = (3,4,5).

Ushbu qoidani qo'llash shartlariga asoslanib, Cramerning lineer tenglama tizimlarini yechish usuli bilvosita ishlatilishi mumkin, masalan, sistemani ba'zi parametrlar koeffitsientiga qarab echilishi mumkin bo'lgan echimlarni tadqiq qilish uchun.

2-misol. K parametrining qaysi qiymatlari uchun kx-y-4 | + | x + ky + 4 | <= 0 tengsizlikka aniq bir echim borligini aniqlang.

Qaroringiz.
Bu tengsizlik, funktsiya modulining ta'rifi asosida, har ikkala iboralar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lganda ham qondirilishi mumkin. Shuning uchun, bu muammo algebraik tenglamalarni linear tizimining yechimini topish uchun pasayadi

Kx - y = 4,
X + ky = -4.

Ushbu tizimning echimi uning asosiy hal qiluvchi ifodasi hisoblanadi
Det = k ^ {2} + 1 nolga teng emas. Shubhasiz, bu shart k parametrining barcha haqiqiy qiymatlari uchun qondiriladi.

Javob: k parametrining barcha haqiqiy qiymatlari uchun.

Bunday muammolarga matematika, fizika yoki kimyo sohasidagi ko'plab amaliy muammolar ham kamayishi mumkin .