Fourier konvertatsiya qilish. Fast Fourier konvertatsiya qilish. Alohida Fourier konvertatsiya

Fourier o'zgartirish - o'zgartirish, haqiqiy o'zgaruvchining ma'lum bir funktsiyasini sherik. Bu operatsiya biz turli xil tovushlar sezmagan har safar amalga oshiriladi. Quloq faqat oliy matematika bo'limda ekspertiza keyin bizning ongimizga mumkin vafo avtomatik "hisob", ishlab chiqaradi. bir inson o'zgartiradigan a'zoni eshitib ovoz (qattiq, suyuq yoki gazsimon muhitda to'lqin shaklida targ'ib elastik muhitda zarralar, an'anaviy tebranish harakati) o'zgaruvchan balandliklarda tovushlari ovoz balandligini izchil qadriyatlar bir qator taqdim bo'lgan, qurish. Shundan so'ng, miya barcha tanish ovozi ma'lumotlarni aylanadi.

Matematik Fourier o'zgartirmoq

(Yorug'lik emissiya va okean oqimiga va yulduz yoki Quyosh ko'chadan uchun) amalga oshirilishi mumkin va matematik usullar orqali ovoz to'lqinlar yoki boshqa tebranish jarayonlarining o'tkazish. Shunday qilib, bu metodlarni foydalanib, vazifalari dengiz to'lqini kabi, bir minimal yana keyin bir maksimal, minimal, borib sinusoidal komponentlarini, masalan to'lqinli egri belgilangan tebranish jarayonlari joriy kengaytirdi mumkin. Fourier o'zgartirish - muayyan chastotaga mos har sinusoid bosqichiga kattaligi ta'riflaydi o'zgartirish vazifasi. Bosqich egri va amplitudali bir boshlang'ich nuqtasi hisoblanadi - uning balandligi.

Fourier (misollar foto ko'rsatilgan) fanning turli sohalarida ishlatiladi juda kuchli vosita, deb o'zgartiradi. Ba'zi hollarda, bu yechim sifatida yorug'lik, issiqlik va elektr energiyasi ta'sirida yuzaga kelgan dinamik jarayonlarni tasvirlash ancha murakkab tenglamalarni ishlatiladi. Boshqa hollarda, u kimyo, tibbiyot va astronomiya turli eksperimental kuzatuvlarini talqin qilish to'g'ri bo'lishi mumkin, bu tufayli siz, murakkab to'lqin muntazam komponentlarini aniqlash imkonini beradi.

tarixiy ma'lumotlar

bu usulni qo'llash birinchi kishi frantsuz matematigi Chjan Batist Fure edi. keyinchalik uning nomidagi o'tkazish, dastlab issiqlik o'tkazuvchanlik mexanizmini tasvirlash uchun ishlatilgan. issiqlik xususiyatlarini o'rganish bilan shug'ullanadi, uning butun kattalar hayoti Fourier. U algebraik tenglamalar ildizlari aniqlash matematik nazariyasiga ulkan hissa qo'shgan. Fourier École Polytechnique, misrshunoslik instituti kotibi tahlil professori edi, (uning rahbarligida bezgak botqoqlar ortiq 80 ming kvadrat kilometr qurigan edi) Turin uchun yo'l qurish vaqtida bir hayajonga solgan imperator xizmatida edi. Biroq bu barcha faoliyati matematik tahlil bilan shug'ullanuvchi olim to'xtamadi. 1802-yilda u Qattiq jismlarning issiqlik tarqalishini tushuntirib tenglamani olingan edi. 1807-yilda, olim "Fourier aylantirmoq" sifatida ma'lum bo'lgan bu tenglama, hal qilish uchun bir usul kashf.

issiqlik o'tkazuvchanlik tahlil

Tadqiqotchilar issiqlik o'tkazuvchanlik mexanizmini ta'riflash uchun bir matematik usuli ishlatiladi. hisoblash hech qiyinchilik issiqlik energiyasini ko'paytirish temir uzuk bilan bo'lib, bu erda A qulay misol, bir qismi bir olov botiriladi. amalga oshirish uchun tajribalar xalqqa qizil issiq qismini Fourier va nozik qum, uni dafn. Shundan so'ng, harorat o'lchash uning qarama-qarshi qismida amalga oshiriladi. Dastlab, issiqlik tarqatish tartibsizlik: halqa qismi - sovuq va boshqa - issiq, zonalari o'rtasidagi kuzatish mumkin o'tkir harorat gradient. Biroq, metall yuzasi bo'ylab issiqlik tarqatish paytida, u ko'proq yagona bo'ladi. Shunday qilib, tez orada bu jarayon bir sinus shaklini oladi. Birinchi grafik asta-sekin oshirib, shuningdek, silliq kosinüsü yoki sinus funktsiyasi o'zgarish aniq qonunlar kamayadi. Wave asta-sekin tenglashtirdi va natijada harorat xalqqa butun yuzasida kiyimini aylanadi.

Bu usulning muallifi boshlang'ich tarqatish Boshlang'ich sinus to'lqinlar bir qator chirigan mumkin juda tartibsizlik, deb taxmin. Ularning har biri o'z bosqichi (boshlang'ich joy) va uning maksimal haroratga ega bo'ladi. Shunday qilib, eng kam har bir bunday komponenti o'zgarishlar maksimal va orqa halqa butun son marta atrofida aylanib chiqishi uchun. fundamental monand deb atalgan bir zamondan va ikki yoki undan ko'p davrlardan qiymatga ega bo'lgan komponent - ikkinchi va hokazo. Misol uchun, maksimal harorati ta'riflaydi matematik funksiya, davr yoki lavozim Fourier tarqatish funktsiyasi o'zgartirmoq chaqirdi. boshlang'ich taqsimlash berib miqdorida sinüsü va kosinüsü satrlarni - olim oson-to-foydalanish vositalari uchun, matematik ta'rifi qiyin bir tarkibli keltirdi.

tahlil mohiyati

bir halqa shaklida bo'lgan, qattiq ob'ekt ustida issiqlik tarqatish konvertatsiya qilish, bu tahlil qo'llash, bir matematik sinusoidal komponentlarini oshirish muddatlari tez azaltılmasıyla sabab deb mulohaza. Bu aniq asosiy va ikkinchi garmoniyasi ko'rinadi. yakuniy harorat, bir vaqtning o'zida ikki marta maksimal va minimal qiymatlari etib, va birinchi - faqat bir marta. Bu ikkinchi harmonik issiqlik bilan sayohat masofa yadro yarmi deb chiqadi. Bundan tashqari, ikkinchi bo'limning gradient ham birinchi dan ko'ra tik bo'ladi. yanada kuchli issiqlik flux beva minimal masofani o'tib beri Shuning uchun, keyin bu vaqt funksiyasi sifatida, asosiy to'rt barobar tez monand sönümlü bo'ladi. Quyidagi jarayonida ham tezroq bo'ladi. Matematik bu usul bizga vaqt harorat boshlang'ich taqsimlash jarayonini hisoblash imkonini beradi, deb hisoblaydi.

Call zamondoshlari

Fourier algoritmi o'zgartirmoq vaqtda matematika nazariy asoslarini qilish oson bo'ldi. erta o'n to'qqizinchi asrda, Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre va Biot, shu jumladan, eng ko'zga ko'ringan olimlar, dastlabki tarqatish harorat asosiy to'lqin va yuqori chastota shaklida komponentlari irib-chirib, deb uning da'vosini qabul qilmadi. Biroq, Fanlar akademiyasi matematik olingan natijalarni e'tiborsizlik va qonunlar issiqlik o'tkazish nazariyasi uchun unga mukofotiga sazovor, shuningdek jismoniy tajribalar bilan taqqoslash o'tkazish mumkin emas. Fourier boisdan, asosiy e'tiroz bir lahzalik, funktsiya uzluksiz bir necha sinusoidal funktsiyalari, bir yig'indisi bilan vakili bo'lmish haqiqatdir. Axir, ular to'g'ri portlash va egri chiziqlar tasvirlangan. Zamonaviy olim bunday vaziyat duch hech qachon bunday, kvadrat chiziqli, sinus yoki ishtirokchi sifatida, uzluksiz kombinatsiyasi orqali tasvirlangan lahzalik vazifalari. bir matematik uning iddaolar to'g'ri ekanini taqdirda, trigonometrik funksiyalarga ega cheksiz qator yig'indisi aniq tezligi cheklangan bo'lishi kerak. Bunday da'vo bema'ni tuyuldi-da. Biroq, ba'zi tadqiqotchilar (masalan, Klod Navier, Sofi Zhermen) shubha qaramay tadqiqot doirasi kengaytirildi va issiqlik tarqatish tahlil ularni olib keldi. Matematika, shu bilan birgalikda, bir necha sinusoidal vazifalarning bir yig'indisi portlash aniq taqdimnomasiga kamayadi degan savol azob davom etdi.

200-yillik tarixi

Bu nazariya ikki asrlar davomida rivojlanib, bugungi kunda u nihoyat hosil bo'ladi. fazoviy yoki vaqtinchalik funktsiyalari yordamida bir chastota, o'zgarishlar va amplitüdünü bor sinusoidal komponentlari singan qilingan. Bu aylantirish ikki xil matematik usullar bilan olinadi. manbai uzluksiz funksiya, ikkinchi, ular birinchi holatda ishlatiladi - bu alohida individual o'zgarishlar bir qancha tomonidan taqdim etiladi holda. fundamental yuqorida hokazolar eng past va keyin ikki barobar, uch va - ifoda diskret vaqti-vaqti bilan belgilangan qadriyatlar, olingan bo'lsa, u bir necha diskret sinusoidal chastotalar so'zlar bo'linishi mumkin. Bu miqdor deb ataladi Fourier seriyali. dastlabki ifodasi har bir haqiqiy sonning qiymatini belgilangan bo'lsa, u bir necha sinusoidal barcha mumkin bo'lgan chastotalar ajratilgan bo'lishi mumkin. Bu integral bir Fourier deb ataladi, va qaror qabul ajralmas funktsiyasi bir o'zgarishlarni nazarda tutadi. Nima bo'lishidan qat'iy nazar, ikki raqamini ko'rsatadi kerak har bir chastotasi uchun, o'zgarishlarni olish uchun usuli: genlik va chastota. Bu qiymatlar bitta sifatida ifoda etiladi murakkab soni. kalkulyatordan amalga oshirish uchun birgalikda Fourier o'zgartirish bilan ifoda murakkab o'zgaruvchilar nazariyasi turli elektr o'chirib dizayn ruxsat, mexanik tebranish tahlil qilish, to'lqin tarqalish mexanizmi va boshqa o'rganish.

Fourier bugun konvertatsiya

Hozirgi kunda, bu jarayonning o'rganish asosan aqlga uni qaytarib aylantirish funktsiyasi o'tish uchun samarali usullarini topish qaynoq pastga. Bu yechim to'g'ridan-to'g'ri va teskari Fourier o'zgartirmoq deyiladi. Bu nimani anglatadi? uchun muhim aniqlash va to'g'ridan-to'g'ri Fourier konvertatsiya qilish, sizga matematik usullar foydalanishingiz mumkin, lekin siz analitik mumkin. ular amalda ishlatiladi, ba'zi qiyinchiliklar bor bo'lsa-da, eng integral allaqachon topilgan va matematik qo'llanmalar kiritilgan. raqamli usullar yordam hisoblanishi mumkin so'zlar bilan, shakli bo'lgan eksperimental ma'lumotlar, jadvallar integraller bedarak kimning bir vazifasi asoslangan, va ular analitik shaklda tasavvur qilish qiyin bo'ladi.

Bunday o'zgarishlar juda zerikarli edi kompyuter muhandisligi hisoblar kelishi oldin, ular to'lqin vazifasini tasvirlab ball soniga bog'liq arifmetik operatsiyalar bir qator qo'llanma ijrosini talab qiladi. Yangi amalga oshirish uchun ruxsat maxsus dasturlar, mavjud, bugun hal osonlashtirish uchun analitik usullar. Shunday qilib, 1965 yilda, Dzheyms ko'li va Dzhon Tyuki "Fast Fourier Transform" deb ma'lum bo'ldi dasturini yaratdi. Bu egri tahlil ayirish sonini kamaytirish hisoblash vaqtini tejash imkonini beradi. usuli yagona namuna qadriyatlar bir qator ichiga egri bulish asoslangan "Fast Fourier Transform". Shunga ko'ra, ayirish sonini nuqtalari sonini kamaytirish Shu da yarimiga kamaytiriladi.

Fourier o'zgartirmoq qo'llash

Bu jarayon turli sohalarda ishlatiladi: yilda sonlar nazariyasi, fizika, signal qayta ishlash, kombinatorik, ehtimollik nazariyasi, kriptografiya, statistika, okeanografiya, optika, akustika, va boshqa geometrik. uning foydalanish uchun boy imkoniyatlar deyiladi foydali xususiyatlari, bir qator asoslangan "Fourier konvertatsiya qilish xususiyatlari." AQSh ularni ko'rib chiqamiz.

1. aylantirish vazifasi bir chiziqli operator hisoblanadi va tegishli tartibga solish unitar hisoblanadi. Bu xususiyat Parseval teoremasiga sifatida tanilgan, yoki umumiy holda, teorema Plansherelja yoki Pontrjagin dualizm bo'ladi.

2. aylantirish qaytar. Bundan tashqari, qarama-qarshi natija hal to'g'ridan-to'g'ri, deb, shunga o'xshash shakli hisoblanadi.

3. sinusoidal asosiy ifodalar o'z tabaqalashtirilgan vazifalari bor. Bu, masalan, vakillik o'zgartiradi, degan ma'noni anglatadi chiziqli tenglamalarni bir an'anaviy arifmetik doimiy koeffitsientli.

4. "konvolüsyon" teoremasiga ko'ra, jarayon boshlang'ich ayirish bir murakkab operatsiya qiladi.

Alohida Fourier Transform 5. tez "tez" usuli yordamida kompyuterda mo'ljallangan bo'lishi mumkin.

Fourier Variations o'zgartirmoq

1. Eng tez-tez muddatli aniq burchak chastota va amplitüdler bilan murakkab ko'rsatkichli ifodasi yig'indisi sifatida har qanday quadratically İntegrable iborani ta'minlash, uzluksiz o'zgartirish uchun murojaat uchun ishlatiladi. Bu tur turli doimiy koeffitsientlari bo'lishi mumkin bir necha turli shakllarini ega. uzluksiz usul matematik qo'llanmalar topish mumkin o'tkazish jadval o'z ichiga oladi. A umumiy ishi bu jarayon kerakli real hokimiyatga ko'tardi mumkin qaerga kasr o'tkazish, deb.

2. uzluksiz usul har qanday uchun belgilangan Fourier ketma-ket oldingi texnikaning bir umumlashtirish hisoblanadi davriy vazifalari cheklangan sohada mavjud va sinüzoidler bir qator ularni vakili yoki iboralar.

3. Alohida Fourier konvertatsiya qilish. Bu usul ilmiy hisoblash va raqamli signal qayta ishlash uchun hisoblash ishlatiladi. hisoblash, bu turini amalga oshirish uchun individual nuqtalari, davriy yoki cheklangan viloyati o'rniga uzluksiz Fourier integral alohida majmuini ustida aniqlash funktsiyani ega bo'lishi talab qilinadi. bu holatda Signal aylantirish sinüzoidler yig'indisi sifatida taqdim etiladi. "Tez" usuli foydalanish, barcha amaliy maqsadlar uchun raqamli yechimlari foydalanish imkonini beradi.

4. Fourier o'zgartirmoq oyna klassik usuli bir umumiy ko'rinishi hisoblanadi. ushbu o'zgaruvchining mavjudligi to'liq qator olinadi signal spektri ishlatiladigan standart echimlar farqli o'laroq bu yerda alohida qiziqish uyg'otmoqda original o'zgarmaydigan (vaqt) saqlab faqat mahalliy chastota tarqatish hisoblanadi.

5. Ikki o'lchovli Fourier konvertatsiya qilish. Bu usul ma'lumotlar ikki o'lchovli, tillo bilan ishlash uchun ishlatiladi. boshqa - bunday holda, ishlab chiqarishni keyin bir yo'nalishda amalga, va bo'ladi.

xulosa

Bugungi kunda, Fourier usuli mahkam fan sohalarida turli xil o'rnashib etiladi. Misol uchun, 1962-yilda u X-Kırınımı bilan birgalikda Fourier tahlil yordamida DNK ikki spiral shaklga ochildi. Recent kristallar film qayd difraksiyonu olingan bir tasvir, natijada, DNK tolalari qaratilgan. Bu rasm Fourier bu kristall tuzilishi uchun o'zgartirmoq yordamida amplitudali qiymati haqida ma'lumot berdi. shunga o'xshash kimyoviy tuzilmalar tahlil olingan kartalar bilan DNK kırınım kartalari solishtirish orqali olingan bosqich ma'lumotlar. Natijada, biologlar kristalli tizimini qayta tiklandi - original vazifasini.

Fourier tashqi kosmosdan, yarimo'tkazgich materiallar va plazma, mikroto'lqinli akustika, okeanografiya, radar, seysmologiya va tibbiy ko'rik fizikasi o'rganishga katta rol o'ynaydi aylantirmoq.