Arifmetik nima? arifmetik asosiy teorema. ikkilik arifmetik

arifmetik nima? insoniyat boshlaganda raqamlarini foydalanish va ular bilan ishlash uchun? Qaerda raqamlari kabi kundalik tushunchalar uning ildizlari etiladi kasrlar, olib tashlash, qo'shimcha va ayirish, u kishi o'z hayoti va Outlook ajralmas qismi qildi? Yunon aqllari inson mantiq, bir go'zal simfoniya kabi, matematika, arifmetik va geometrik kabi fanlarni lol.

Balki matematik boshqa fanlar kabi, chuqur emas, balki ularga nima sodir bo'lishini, odamlar Boshlang'ich oshirish jadvallarni unutib? bizga tanish mantiqiy fikrlash, odamlar qattiq vaqt berish uchun raqamlar, kasr va boshqa vositalari yordamida, va uzoq vaqt davomida ajdodlarimiz uchun mavjud emas edi. Aslida, arifmetik rivojlantirish oldin inson bilim hech maydoni albatta ilmiy emas edi.

Arifmetik - Matematika alifbosi bo'lib

Arifmetik - har qanday individual matematika ajoyib dunyo bilan tanishish boshlanadi bo'lgan raqamlar fan. M. V. Lomonosov ning aytganda, arifmetik - bu Miropoznanie biz uchun yo'l ochib, ta'lim darvoza hisoblanadi. Lekin u to'g'ri, dunyoning bilim harflar va raqamlar, matematika va so'z ilmi ajratilgan bo'lishi mumkin? Balki eski kun ichida emas, balki ilm-fan va texnologiyalar jadal rivojlantirish o'z qonunlarini qiladi zamonaviy dunyoda, ham.

so'zi "arifmetik" yunon kelib chiqishi (GK. "Arifmos"), "raqam" degan ma'noni anglatadi. Bu raqami va ular bilan bog'liq bo'lishi mumkin, deb butun tekshiradi. Bu raqamlar dunyo: raqamlar, raqamli qoidalar bo'yicha turli operatsiyalari, shunday qilib, ko'paytirish, olib tashlash bilan bog'liq, va vazifalar ..

Bu odatda boshlang'ich qadam arifmetik Matematika va bunday algebra, matematik tahlil kabi yanada murakkab, uning bo'limlari uchun mustahkam baza, Oliy matematika va t deb qabul qilinadi. D.

arifmetik asosiy maqsadi

arifmetik asosi - eng yuqori arifmetik yoki hisoblanadi bir butun son, xususiyatlarini va qonunlarni hisoblanadi soni nazariyasi. matematika - to'g'ri yondashuv binosi kuchiga bog'liq tabiiy raqam sifatida, masalan, bir kichik birligi hisobga olinadi qanday Aslida, In.

Shuning uchun, arifmetik bo'lgan savol, javob oddiy: u raqamlar fan hisoblanadi. Ha, odatdagidek, etti, to'qqiz, va bu turli hamjamiyatining barcha haqida. arifmetik ham asosiy vazifalarni hal qilinishi mumkin emas holda va faqat, shuningdek, va eng oddiy oyatlari, asosiy alifbo holda yozish mumkin emas. Barcha fanlar taxminlarga avvalo majmui bo'lib, faqat arifmetik va matematika rivojiga keyin rivojlangan nima uchun o'sha.

Arifmetik - fan-iz

tabiiy fanlar yoki sharpa - arifmetik nima? qadimgi yunon faylasuflari mulohaza qilib Aslida, hech raqamlari, aslida hech qanday raqamlar mavjud emas. Bu atrof-muhit va uning jarayonlari tomosha inson fikr yaratilgan faqat bir sharpa, bo'ldi. Aslida, son nima? Nowhere atrofida, biz bu kabi narsa soni deb ataladi mumkin ko'rmayapman, balki, son - bu inson aqli dunyoni kashf uchun bir yo'ldir. Ehtimol, o'zlari ichida bor, bu ish? Faylasuflar shuning uchun biz o'z zimmasiga emas to'liq javob berish uchun, ketma-ket ko'p asrlar davomida bu haqida bahslasha. Har ikki holda ham, arifmetik shunday mustahkam, zamonaviy dunyoda hech kim ijtimoiy, uning asoslarini bilmasdan moslashtirilgan ko'rib chiqilishi mumkin, ularning o'rnini olishi mumkin.

musbat butun bor edi, deb

tabiiy sonini kabi 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... va hokazo - Albatta, asosiy ob'ekt bo'lgan arifmetik, faoliyat tabiiy sonlar arifmetik bunday o'tloqdagi sigirlar sifatida oddiy ob'ektlar, hisobidan natijasidir. Shunday bo'lsa-da, bir narsa odamlarni ushlab to'xtatdi va yana murakkab hisoblash texnikasi ixtiro qilish edi ", bir poda» yoki «bir oz" ta'rifi.

Lekin haqiqiy rivoji, inson aqli bir va topmoq uchun "ikki" va 2 kg xil miqdorda, va 2 g'isht va 2 qismlar bo'lishi mumkin nuqtaga yetib kelganda keldi. Bu shakllar, xususiyatlari va ob'ektlari ma'nosi mavhum uchun zarur ekanligi, keyin biz ijobiy butun sonlarning shaklida ushbu ob'ektlar bilan ba'zi harakatlarni ishlab chiqarish mumkin. Shunday qilib yanada rivojlangan va jamiyatda o'rnini egallab bilan kengaytirildi bo'lgan sonlar arifmetik, tug'ildi.

Bunday chuqur nol va salbiy sonlar, kasr sifatida qator tushunchasi, raqamlar, boshqa yo'llar bilan raqamlarga murojaat rivojlantirish boy va qiziqarli tarixga ega.

Arifmetik va amaliy Misrliklar

Dunyoning o'rganish va kundalik muammolarni hal ikki qadimiy inson hamroh - bu arifmetik va geometriya.

Hindiston, Misr, Bobil va Xitoy: Bu arifmetik tarixi Qadimgi Sharqda uning kelib chiqishi ega deb hisoblanadi. orqaga XX asrga, Bas, Rhind papirus Misr kelib (bir xil ism egasiga tegishli, chunki, shuning uchun) deb nomlanib. Miloddan avvalgi, boshqa qimmatli ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda turli maxrajning va biriga teng shams bilan kasrlar miqdorida bir qismini kengaytirish o'z ichiga oladi.

Masalan: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Lekin bunday murakkab yoyilishining ma'nosi nima? Misr yondashuv sonlar haqida fikr uzoq toqat qilmaydi, deb dalil, aksincha, hisob-kitoblar faqat amaliy maqsadlar uchun qilingan. Ya'ni, misrliklar faqat misol uchun, qabr qurish uchun, hisob-kitoblar kabi biznes bilan shug'ullanuvchi qilinadi. Bu Fin tuzilishi uzunligini hisoblash uchun zarur bo'lgan va bir odam papirosini o'tirib uchun qildi. Ko'rib turganimizdek, hisob-kitoblar Misr o'sish asosan ilm-fan bir muhabbat ko'ra, qurish, asosan katta, deb atalgan.

Shuning uchun, papirusi topilgan hisoblar, kasrlar fanidan taassurotlari deb atash mumkin emas. Hoynahoy, u yanada kasrlar bilan muammolarni hal qilish yordam berdi amaliy tayyorgarlik, deb. Qadimgi misrliklar ko'paytma jadvalining bilmagan, ko'plab Alt ichiga yoyib, juda uzoq hisob ishlab chiqarilgan. Ehtimol, bu shu pastki biri hisoblanadi. Bu Blankalar bilan hisob-kitoblar juda vaqt va juda istiqbolli emasligini e'tibor oson. Ehtimol, bu Shuning uchun, biz qadimiy Misr matematika rivojiga katta hissa ko'rmayapman.

Qadimgi Gretsiya va falsafiy arifmetik

Qadimgi Sharq ilm ko'p muvaffaqiyatli, mavhum mavhum va falsafiy in'ikosi muxlislar ma'lum qadimgi yunonlar tomonidan o'zlashtirildi. kamroq hech, ularni qiziqish, lekin eng yaxshi nazariyotchi va mutafakkirlar topish qiyin mashq. matematik haqiqatga bilan yirtib emas, chuqur borish mumkin emas, chunki u ilm-fan uchun yaxshi bo'ldi. Albatta, u 10 sigir va sut 100 litr ko'paytirib, lekin uzoq ko'chib o'tishga ega bo'lmaydi mumkin.

Yunonlar chuqur tarixida muhim iz qoldirgan fikrlash, va ularning ishlari o'zimizga kelgan:

• Yevklid va «narsalar».
• Pifagor.
• Arximed.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Va, albatta, yunonlar barcha falsafasi o'girsa, va Pifagor hollarda, ayniqsa izdoshlari, ularni bir sir dunyo kelishuv hisoblanadi raqamlar, taxminan shunday qizg'in edi. raqamlari shunday o'rganib ularning juftliklarning ba'zi maxsus xususiyatlarini tegishli ekanligini, berilgan. Misol uchun:

• Perfect raqamlari - qator o'zi (6 = 1 + 2 + 3) tashqari barcha divisors yig'indisini bo'lganlar.
• Do'stona raqamlari - ikkinchi va aksincha, barcha divisors yig'indisi hisoblanadi biri bu raqamlar, (: 220 va 284 Pifagor, faqatgina bitta juft bilaman).

bu fan emas, foyda olish uchun u bilan bo'lish uchun sevgan lozim iymon yunonlar, kashf o'ynab va raqamlarni qo'shib, katta yutuqlarga qildik. U ulardan ba'zilari faqat edi, ularning tadqiqot emas, balki butun keng ishlatilgan, deb ta'kidlash lozim », go'zallik uchun."

O'rta asr sharq mutafakkirlarining

Xuddi shunday, O'rta asrlarda u sharqiy zamondoshlariga uning rivojlanishini qarzi arifmetik. Hindlarning bizga faol kabi "nol", deb bir narsa, va lavozim o'zgarish foydalanish raqamlarni berdi hisoblash tizimi, odatdagidek zamonaviy idrok. 15-asrda Samarqandda ishlagan Al-pyuresi, boshlab, biz meros qilib kasr, zamonaviy arifmetik tasavvur qilish qiyin bo'lgan holda.

Sharq yutuqlari Sharq yangiliklar bilan tanishtirish, bir kitob "Liber Abacı" yozgan Italiya olimi Leonardo Fibonachchi, ishiga tufayli erishildi bilan ko'p jihatdan, Evropa tanish. Bu Yevropada algebra va arifmetik, tadqiqot va ilmiy faoliyat rivojlantirish toshi bo'ldi.

Rossiya arifmetik

Nihoyat, arifmetik, o'z o'rnini topgan va Yevropa asoslangan qildi, rus quruqlikda tarqalgan boshladi. Rossiya birinchi arifmetik 1703 yilda chop etilgan - bu arifmetik Leontiya Magnitskogo haqida bir kitob edi. uzoq vaqt davomida u matematika faqat tutorial edi. Bu algebra va geometriya dastlabki daqiqalarini o'z ichiga oladi. arifmetik Rossiya birinchi darslik, arab misollar foydalanilgan raqamlar. Garchi arabcha raqamlar 17 asrga cho'zilgan Zarbxona, avval tanishgan.

kitob o'zi Arximed va Pythagoras'tan tasvirlari bilan bezatilgan, va birinchi sahifada - bir ayol sifatida tasvir arifmetik. Xudo Ismini ibroniycha so'z yozilgan ostidan U taxtda o'tirgan va hokazo so'z "bo'limi", "o'sish", "Kiritilgan" bilan yozib, qurbongoh sabab qadamlar, ustida. D. biri faqat xiyonat nima qiymati tasavvur mumkin endi oddiy hisoblanadi, bunday haqiqatlar.

600 sahifalar darslik kabi qo'shimcha va ayirish jadvallar va navigatsiya fanlar uchun ilovalar asosi sifatida ta'riflaydi.

o'zi "Arifmetika ... nezavistnoe, adolatli bor zotsan chislitelnitsa qildi", deb, arifmetik go'zalligi büyüledi chunki ajablanarli emas, yozuvchi, uning kitob yunon mutafakkirlari tasvirni tanladi. uning keng tarqalgan qabul qilinishi, Rossiya va umumiy ta'lim, ilmiy tafakkur tez rivojlanishining boshlanishi deb hisoblash mumkin, chunki arifmetik Bu yondashuv yaxshi, tashkil etilgan.

noqulay Primes

- Bosh raqami, deb tabiiy soni 1 va o'zi: faqat 2 ijobiy divisors hisoblanadi. 1 tashqari boshqa barcha raqamlari, murakkab deyiladi. Bosh raqamlar misollar: 2, 3, 5, 7, 11, va 1 dan boshqa divisors va soni o'zi emas, barcha boshqalar.

raqami 1 uchun, u bir mukofoti bo'lgani kabi - u ham oddiy, na aralashma ko'rib chiqilishi kerak shartnoma bor. Birinchi qarashda oddiy, oddiy soni ichlarida ko'p hal etilmagan sirlarni berkitgan.

Evklid teorema cheksiz Primes soni va Eratosthenes faqat oddiy qoldirib, murakkab sonlar bartaraf maxsus hisob "elakdan" bilan keldi, deydi.

Uning mohiyati birinchi undelete raqamni ta'kidlash uchun, va keyingi tashlash amalga o'sha undan ko'paytmasi deb. Biz bu ishni bir necha marta takrorlang - va bosh raqamlar bir jadval olish.

arifmetik asosiy teorema

Bosh sonlar haqida kuzatuvlar orasida maxsus asosiy arifmetik teoremasi zikr qilish kerak.

Asosiy arifmetik teorema deb har qanday butun son 1 dan katta, yoki oddiy deyilgan yoki takrorlash omillar, faqat yo'l tartibi qadar bosh raqamlar bir mahsulot ichiga chirigan mumkin.

arifmetik asosiy teorema juda noqulay isbotladi, va u faqat poydevori kabi emas tushunish.

birinchi qarashda, bosh raqamlar - Boshlang'ich tushunchasi, lekin u emas. u koinotning ichida topguningcha Fizika ham bir marta, elementar atom ko'rib chiqildi. Primes bir go'zal hikoya matematik Don Zagier bag'ishlangan "birinchi ellik million bosh raqamlari."

mantiqiy qonunlariga "uch olma" dan

arifmetik qonunlariga - Bu, albatta, barcha fan bir dori asos deb atalgan bo'lishi mumkin. Hatto bir bola sifatida, barcha arifmetik yuzi, shunday qilib, qo'g'irchoqlar da oyoqlari va qo'llari sonini, kupligini, olma sonini va o'rganish. D. Bas, Biz ko'proq murakkab qoidalar ichiga o'sib ulg'aygan arifmetik, o'rganish.

Bizning butun hayot hamma fan eng foydali beradi oddiy odam edi arifmetik qoidalar, bizni tanishtiradi. raqamlar o'rganish - bu erta bolalik davrida raqamga raqamlar dunyoga insonni joriy "Arifmetika-bola", deb.

Oliy Arifmetika - arifmetik qonunlarini o'rganadigan mantiqiy fan. Ularning aksariyati biz, ehtimol, biz ularning to'liq matni bilmayman-da, bilaman.

qo'shimcha va ayirish qonuni

Har qanday ikki butun bir va b, shuningdek, tabiiy soni a + b, yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi qonunlar, qo'shimcha bog'liq:

• O'zgarishi, atamalar permütasyon o'zgarmaydi miqdorini joylashadi, yoki a + b = b + a bildirmoqda, deb.
• yig'indisi joylarda shartlari guruhlarga usuli, yoki a + (b + c) = bog'liq emas dedi assotsiativ (a + b) + c.

Bunday qo'shimcha sifatida arifmetik qoidalari, - asosiy biri, lekin ular kundalik hayot emas, balki so'z, barcha fanlarni, ishlatiladi.

Har qanday ikki butun bir va b mahsulot yoki ham tabiiy soni bir b * a * b, ifodalanishi mumkin. qo'shilishi kabi mahsulotlar shu kommutativ va assotsiativ qonunlarni amalga oshirish uchun:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Bundan tashqari, bir tarqatish yoki taqsimot qonuni sifatida tanilgan va ayirish, birlashtiradi qonun, bor, deb qiziq:

a (b + c) = ab + AC

Ushbu qonun shunday, biz allaqachon ancha murakkab formulalar bilan ishlash mumkin, ularni ochish, qavs bilan ishlash uchun bizga o'rgatadi. Bu algebraning antiqa lekin murakkab dunyoda orqali bizni olib keladi chegaralaridir.

Qonun arifmetik tartibi

inson mantiq qonunlariga haqida uning soatini tekshirish va o'zgalar sanab, har kuni foydalanadi. Va, shunga qaramay, u ma'lum bir tilda amalga oshirilishi lozim.

Biz ikki musbat butun son a va b, keyin quyidagi imkoniyatlari mavjud bo'lsa:

• a = B tengdir, yoki;
• bir kam b, yoki
• a b, yoki a> b kattaroqdir.

uch variantlardan faqat faqat bitta bo'lishi mumkin. tartibini boshqaradi asosiy qonuni, dedi: a

qo'shimcha va ayirish tartibini harakatlarini bog'lab qonunlar ham bor: a

arifmetik qonunlari sonlar mos simfoniya ichiga hamma narsani o'girib, raqamlar, belgilar va Qavs bilan ishlash uchun bizga o'rgatgan.

Pozitsion va nonpositional raqamlash tizimi

Bu ko'p narsa bog'liq bo'lgan qulaylik dan matematika tili, deb - Biz raqamlari, deb aytish mumkin. turli tillarda alifbolardan farq kabi, hisoblash ko'p tizimlari, bor.

Bu holatda raqam miqdoriy qiymati ta'siri o'rinlardan nazaridan soni tizimini ko'rib chiqaylik. har bir raqam, maxsus belgilar muayyan majmui tomonidan kodlangan qaerda Masalan, Rim tizimi nonpositional bo'ladi: I / V / X / L / C / D / M. Ular, o'z navbatida, raqamlar 1/5/10/50/100/500 / 1000. Ushbu tizimda, ko'rsatkich nima ahvol bu kerak da qarab, uning miqdorini aniqlash o'zgarmaydi: boshqa raqamlarni olish uchun .. birinchi, ikkinchi va hokazo, u bazasini yotib zarur. Misol uchun:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Batafsil tanish bizga raqam tizimi arab raqamlari yordamida pozitsion hisoblanadi. 333, 567, va hokazo: bunday tizimda to'lash soni raqamlar sonini, misol uchun, uch xonali sonlar belgilaydi to'lash har qanday vazn ikkinchi holatda ko'rsatkich bir yoki boshqa qaysi bir holatda, masalan, ko'rsatkich 8 bog'liq Bu o'nlik tizimi uchun xos bo'lgan 80. bir qiymatiga ega, masalan, ikki tomonlama boshqa pozitsion tizimi mavjud.

ikkilik arifmetik

Biz bitta-bit va ko'p-bit raqamlar iborat, tanish o'nlik tizimi mavjud. raqamli soni Chapdagi rasmda o'ngdagi biriga ahamiyati o'n barobar katta. Shunday qilib, biz 2, 17, 467, va hokazo o'qish uchun. D. Bu deyiladi turli mantiq va yondashuv bo'lim, deb ishlatiladi "ikkilik arifmetik." ikkilik arifmetik inson mantiq uchun yaratilgan va kompyuter uchun emas, chunki, bu, ajablanarli emas. raqamlar arifmetik yanada mavzusi mulkiga "yalang'och" arifmetik ajratilgan hisoblash, kelib bo'lsa, keyin bu sizning kompyuter bilan ishlamaydi. kompyuter bilan ma'lumot almashish imkoniyatiga ega bo'lish uchun, bir odam bir model hisob ixtiro qilish edi.

Ikkilik arifmetik faqat 0 va 1. iborat bu alifboda foydalanish ikkilik tizimi deb ataladi ikkilik alifbosi bilan ishlaydi.

ikkilik arifmetik chap holatiga ahamiyati endi 10 ekanligini kasr va 2 marta farqli o'laroq. Ikkilik sonlar Biz bu raqamlarni qanday tushunish kerak 111, 1001 va hokazo. D. shakli hisoblanadi? Shunday qilib, biz sonini 1100 ko'rib

1. 1 * 8 = 8, u 2 ko'paytiriladi kerak, degan ma'noni anglatadi to'rtinchi raqamli, biz 8 o'rnini olish ekanligini yodda tutib - chap tomondagi birinchi raqamli.
2. Ikkinchi raqamli 1 * 4 = 4 (lavozim 4).
3. Uchinchi raqamli 0 * 2 = 0 (lavozim 2).
4. to'rtinchi raqamli 0 * 1 = 0 (lavozim 1).
5. Shunday qilib, bizning soni = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 1100.

Bu raqamlarni yozib olish uchun zarur bo'lgan juda katta o'sish bit bo'ladi: 10. qilish Bunday tizim bir kamchiligi bor - Bu ikkilik tizimida uning ahamiyatiga chap yangi turkumda o'tish 2 va kasr bilan ko'paytiriladi, deb. Misollar o'nlik raqamlar quyidagi jadvalda ko'rish mumkin, deb dvochinyh.

O'nlik raqamlar quyida ikkilik shaklida taqdim etiladi.

Bu, shuningdek, sakkiz qirrali ishlatiladi, va hexadecimal raqamlash tizimi etiladi.

Bu sirli arifmetik

arifmetik, "Ikki plyus ikki" yoki raqamlar o'rganilmagan sir nima? Ko'rib turganingizdek, arifmetik, mumkin, va u oddiy bir qarashda ko'rinadi, lekin bu ochiq-oydin yolg'on qulaylik emas. Bu, bolalarga o'rganish mumkin, va birgalikda karikatura "Arifmetika-bola" dan xola Owl bilan, va siz chuqur ilmiy tadqiqotlar deyarli falsafiy tartibi berilish mumkin. tarixida bu raqamlar go'zalligini ibodat qilish uchun moslamalarni sanab ketdi. Bir narsa aniq: arifmetik asosiy postulat tashkil etish bilan, butun ilm-fan, uning kuchli yelkasiga tayanib mumkin.