Samolyot tenglama: qanday qilib amalga oshirish? Turlari samolyot tenglamalar

Kosmosda bir tekislik turli yo'nalishlarda (bir nuqta va vektor, ikki nuqta va vektor, uch nuqta va boshqalar) aniqlanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, samolyot tenglamasi turli xil bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, agar ma'lum shartlar bajarilsa, samolyotlar parallel, vertikal, kesishgan va hokazo bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada bu haqda gaplashamiz. Biz nafaqat samolyotning umumiy tenglamasini qanday qilishni o'rganamiz.

Oddiy tenglama shakli

XYZ ning to'rtburchaklar koordinatali tizimiga ega bo'lgan R3 maydoni mavjud deb taxmin qiling. V ning boshlang'ich nuqtasi O dan chiqariladigan vektorni aniqlang. Vektorning oxiriga ko'ra a ga tekis parallel chiziladi.

Biz har qanday tasodifiy nuqta Q = (x, y, z) bilan belgilanamiz. Q nuqtasining radius vektorini harfi p bilan yozamiz. Bunday holda, a ning vektor uzunligi p = IaI va Ʋ = (cosa, cosb, cosγ) ga teng.

Bu tomonga yo'naltirilgan birlik vektor, vektor a kabi. A, b va g vektor Ʋ va x, y, z bo'shliqlarining eksa ijobiy tomonlari o'rtasida hosil bo'lgan burchaklardir. Biror nuqta QP ning vektorga ionining proektsiyasi p (p, Ʋ) = p (p = 0) ga teng bo'lgan sobitdir.

Bu tenglama p = 0 bo'lganda mantiqan to'g'ri keladi. Bu holda bitta tekislik R bu boshlanish nuqtasi bo'lgan O (a = 0) nuqtasini kesib o'tadi va u nuqtadan chiquvchi birlik vektori U yo'nalishiga qaramay, perpendikulyar bo'ladi, ya'ni vektor Ʋ bilan belgilanadi Belgiga aniqlik. Oldingi tenglama - bizning samolyotimiz II ning vektorli shaklda ifodalanishi. Biroq uning ko'rinishidagi koordinatalarida:

R-dan katta yoki unga tenglashtirilgan. Biz oddiy samolyotda kosmosdagi bir tekislikning tengligini topdik.

Bosh tenglama

Agar koordinatalardagi tenglama nolga teng bo'lmagan har qanday songa ko'paytirilsa, bir xil tekislikni belgilaydigan ma'lum bir tenglikka ega bo'lamiz. Bu shunday bo'ladi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lgan sonlardir. Bu tenglama umumiy tekislikning tenglama deb nomlanadi.

Samolyotlarning tenglama. Maxsus holatlar

Umumiy shakldagi tenglama qo'shimcha sharoitlar mavjud bo'lganda o'zgartirilishi mumkin. Keling, ularning ayrimlarini ko'rib chiqaylik.

Aytish kerakki, A koeffitsienti 0. Bu demakki, ushbu tekislik eksa Oxga parallel bo'ladi. Bunday holda tenglama shakli o'zgaradi: Boo + Cz + D = 0.

Xuddi shunday, tenglama shakli quyidagi shartlar ostida o'zgaradi:

• Birinchidan, agar B = 0 bo'lsa, unda tenglama Ax + Cz + D = 0 ga o'zgaradi, bu Oy o'qi uchun parallelizmning dalili bo'ladi.
• Ikkinchidan, agar C = 0 bo'lsa, unda tenglama Ax + Boo + D = 0 ga aylantiriladi va u bu eksa Ozga parallelizm haqida gapiradi.
• Uchinchidan, agar D = 0 bo'lsa, tenglama Ax + Boo + Cz = 0 ga o'xshaydi, ya'ni samolyot O (kelib chiqishi) ni kesadi.
• To'rtinchidan, agar A = B = 0 bo'lsa, unda tenglama Cz + D = 0 ga o'zgaradi va Oxy bilan parallel bo'ladi.
• Beshinchidan, agar B = C = 0 bo'lsa, unda tenglama Ax + D = 0 bo'ladi, ya'ni Oyzga tekis parallel bo'ladi.
• Oltinchisi, agar A = C = 0 bo'lsa, unda tenglama Boo + D = 0 shaklini oladi, ya'ni Okszga parallelizm haqida xabar beradi.

Segmentlarda tenglama turi

A, B, C, D sonlari noldan farqli bo'lsa, tenglama (0) shakli quyidagicha bo'lishi mumkin:

X / a + y / b + z / c = 1,

Bu erda a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Natijada, samolyotning segmentlarini segmentga tenglashtiramiz. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu samolyot Oks o'qlarini koordinatalar (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) va Oz - (0,0, s) koordinatalarini kesib o'tadi.

X / a + y / b + z / c = 1 tenglamasini hisobga olgan holda, koordinata tizimiga nisbatan tekislikning joylashishini anglatish qiyin emas.

Oddiy vektorning koordinatalari

P plitasiga oddiy vektor n (A, B, C) berilgan tekislikning umumiy tenglamasi koeffitsientlari koordinatalarini beradi.

Oddiy n koordinatalarini aniqlash uchun ushbu tekislikning umumiy tengligini bilish kifoya.

Umumiy tenglamada bo'lgani kabi, x / a + y / b + z / c = 1 shakliga ega bo'lgan segmentlarda tenglamadan foydalanib, ushbu tekislikning har qanday oddiy vektorining koordinatalarini yozishimiz mumkin: (1 / a + 1 / b + 1 / C).

Ta'kidlash joizki, oddiy vektor turli vazifalarni hal qilishda yordam beradi. Eng keng tarqalgan muammolar samolyotlarning vertikal yoki parallelikligini isbotlash, samolyotlar orasidagi burchaklarni aniqlash yoki samolyotlar orasidagi burchaklarni aniqlash muammoidir.

Yo'nalishning koordinatalari va normal vektor bo'yicha tekislikning tenglama shakli

Berilgan samolyotga perpendikulyar nol bo'lmagan vektor, ma'lum bir tekislik uchun normal (normal) deb nomlanadi.

Oksiz koordinatali kosmosda (to'rtburchak koordinatali tizim) berilgan:

• Koordinatalar bilan nuqta-ni (xi, yₒ, z );
• Nolinchi vektor n = A * i + B * j + C * k bo'ladi.

Me'yorning n ga perpendikulyar nuqtadan o'tadigan tekislikning tenglamasini yaratish kerak.

Erdagi har qanday tasodifiy nuqtani tanlaymiz va uni M (xy, z) bilan belgilaymiz. Har qanday nuqtaning radius vektori M (x, y, z) r = x * i + y * j + z * k va radius vektorining M (x, y, z) * J + zₒ * k. Agar M vektori vektorga vertikal bo'lsa, M nuqtasi berilgan tekislikga tegishli bo'ladi. Skalar mahsuloti orqali dikmonlik holatini yozamiz:

[MmM, n] = 0.

M = m-r-dan boshlab, samolyotning vektor tenglamasi shunday bo'ladi:

[R - rₒ, n] = 0.

Ushbu tenglama boshqa shaklga ega bo'lishi mumkin. Buning uchun skaler mahsulotning xususiyatlaridan foydalanamiz va tenglamaning chap tomoni o'zgaradi. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Agar [r1, n] v ga teng bo'lsa, quyidagi tenglama olinadi: [r, n] - c = 0 yoki [r, n] = c, proektsiyani barqarorligini samolyotga tegishli bo'lgan nuqtalarning radius vektorlarining normal vektoriga ifodalaydi.

Endi r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k bo'lganligi sababli, bizning tekislikning vektorli tenglamasi koeffitsientini olishimiz mumkin [r - rₒ, n] = 0. N = A * i + B * j + C * k, bizda:

An'anaviy n ta perpendikulyar nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasi bor:

A * (x - xₒ) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Ikkala nuqtaning koordinatalari va tekislikning tekisligi, vektor, kollinear tekislik

Biz ikkita o'zboshimcha nuqtasini (x, y, z ') va M (x ", y", z ") va vektorni (a, a, a) belgilaymiz.

Keling, ushbu vektorga parallel ravishda koordinatalari (x, y, z) bilan har qanday nuqtani M va M nuqtalaridan o'tadigan va ushbu tekislikning tenglashishi mumkin.

Bundan tashqari, V = (x-x '; y-y'; zz '} va M = {x "-x'; y" -y "; z" -z "} vektorlari vektorlar bilan birlashtirilishi kerak A = (a, a ", a) va bu (M'M, M" M, A) = 0 degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, kosmosdagi samolyot tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Uch nuqtani kesib o'tuvchi samolyotning tenglama shakli

Bir xil satrga tegishli bo'lmagan uchta nuqta bor: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Ushbu uch nuqtadan o'tgan samolyot tenglamasini yozish kerak. Geometriya nazariyasi bunday samolyot mavjudligini tasdiqlaydi, lekin u faqat noyob va unreteatable. Ushbu tekisliklar nuqta (x, y, z) bilan kesishganligi sababli uning tenglama shakli quyidagicha bo'ladi:

Bu erda A, B, C har ikki nolga tengdir. Bundan tashqari, ushbu samolyot yana ikkita nuqtani kesadi: (x ", y", z ") va (x ‴, y ‴, z ‴). Shu munosabat bilan bunday shartlar bajarilishi kerak:

Endi biz u, v, w: noma'lum bo'lgan tenglamalarni bir xil tizimga (lineer) hosil qilamiz:

Bizning holatda x, y yoki z tenglama (1) ga mos keladigan tasodifiy nuqta. Tenglama (1) va sistemani (2) va (3) tenglamalaridan kelib chiqqan holda yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglamalar tizimi ntrivial bo'lmagan N (A, B, C) vektorini qondiradi. Shu sababli ushbu tizimning determinanti nolga teng.

Biz qo'lga kiritgan tenglama (1), bu tekislikning tenglamasidir. 3 balldan keyin, aniq aylanadi va tekshirish oson. Buni amalga oshirish uchun birinchi qatordagi elementlar bo'yicha determinantimizni kengaytirishimiz kerak. Bu determinantning mavjud xususiyatlaridan kelib chiqadiki, bizning samolyot bir vaqtning o'zida uchta uchta nuqtani (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x", y ", z ‴) kesadi. Ya'ni biz oldimizga qo'yilgan vazifani hal qildik.

Samolyotlar orasidagi ikki tomonlama burchak

Ikki tomonlama burchak bir tekis chiziqdan chiqqan ikkita yarim samolyot tomonidan tashkil etilgan geometrik shaklni ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, bu yarim samolyotlar bilan chegaralangan makonning bir qismi.

Bizda quyidagi tenglamalar bilan ikkita tekislik bor:

Bilamizki, V = (A, B, C) va N1 = (A1, V, V) vektorlari ushbu samolyotlarga ko'ra perpendikulyar. Shu munosabat bilan N va N1 vektorlari orasidagi burchak φ bu tekisliklarning orasidagi burchakka (ikki tomonlama) tengdir. Skaler mahsulot quyidagi shaklga ega:

NN1 = | N || N1 | cos ph,

Albatta, chunki

Cosph = NN1 / | N || Nl | = (AA + VB1 + SS1) / ((√ (A² + V ² + ²)) * (√ (A) ² + (¹) ² + (¹) ²)).

0 ≤≤≤p ekanligini inobatga olish kifoya.

Aslida, ikkita tekislik (ikki tomonlama) shaklini kesib o'tuvchi ikkita tekislik: φ1 va φ2. Ularning miqdori p (ph ₁ + ph ₂ = p) ga teng. Ularning kosinalari bo'yicha mutlaq qiymatlari bir xil, lekin ular belgisida farq qiladi, ya'ni cos f ₁ = -cos ph ₂ . Agar biz A, B va S ni tenglama (0) bilan mos ravishda -A, -B va -C sonlari bilan almashtirsak, biz olingan tenglama bir xil tekislikni aniqlaydi, birinchisi - cos f = NN ¹ / | N || N ¹ | P-p bilan almashtiriladi.

Perpendikulyar tekislik tenglamasi

Burchakning vertikal qismi vertolyotlar orasida 90 gradus bo'lgan burchaklardir. Yuqorida keltirilgan ma'lumotdan foydalanib, biz samolyotning boshqasiga nisbatan vertikalligini aniqlaymiz. Ikkita samolyotimiz mavjud deb taxmin qilamiz: Ax + Boo + Cz + D = 0 va Axx + By + Czz + D = 0. Cosφ = 0 bo'lsa, ular vertikal bo'ladi. Bu degani NN1 = AA + + BB1 + CC1 = 0.

Parallel tekislik tenglashishi

Parallel ikkita samolyot umumiy fikrlarni o'z ichiga olmaydi.

Samolyotlar parallelizmining holati (ularning tenglashuvlari avvalgi xatboshida bo'lgani kabi), ular uchun vertikal bo'lgan N va N1 vektorlari. Bu degani, quyidagi mutanosiblik sharoitlari qondiriladi:

A / A¹ = B / B¹ = C / C1.

Proportionlik shartlari kengaytirilgan bo'lsa - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD1,

Bu bu samolyotlar bir xil ekanligini ko'rsatadi. Boshqacha aytganda, Ax + Boo + Cz + D = 0 va Axx + Byy + Czz + D ¹ = 0 tenglamalar bir tekislikni tasvirlaydi.

Masofadan tekislikka masofa

Bizda tenglama (0) bilan berilgan bir tekislikka ega ekan deylik. Oldindan koordinatalari (xi, yₒ, zₒ) = Q nuqtasidan masofani topish kerak. Buni amalga oshirish uchun biz P ning tenglamasini oddiy shaklga tushirishimiz kerak:

(R, v) = p (p = 0).

Bu holda r (x, y, z) - II nuqtada joylashgan nuqta radius vektori, p - nol nuqtadan chiqarilgan perpendikulyar R uzunligi, v - a yo'nalishida joylashgan birlik vektor.

Pga tegishli bo'lgan Q = (x, y, z) har qanday nuqtadagi radius vektorining diapazoni va R nuqtasining radiusi vektori Q ₀ = (x, y, z, z1) mutlaq izdoshlari V ₀ = (x, yₒ, zₒ) dan P nuqtalarigacha bo'lgan masofa d ga teng bo'ladi:

D = | (r-r ⁰ , v) |, lekin

(R-r, v) = (r, v) - (r ⁰ , v) = r - (r ⁰ , v).

Shunday qilib,

D = | (r ⁰ , v) -p |.

Endi biz Q0 dan II-sathgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun, biz samolyotning tenglamasini oddiy shaklidan foydalanamiz, keyin uni p chap tomoniga o'tkazamiz va x, y, z o'rniga (xp, yp, zp) o'rnini egallashimiz kerak.

Shunday qilib, natijada paydo bo'lgan ifodaning mutlaq qiymatini, ya'ni istalgan d ni topamiz.

Parametrlar tilidan foydalanib, biz aniq:

D = | Axx + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Agar berilgan nuqta Q ₀ samolyotning ikkinchi tomonida bo'lsa, unda v-ro r-r ⁰ va v vektorlari orasidagi burchakka burchak mavjud, shuning uchun:

D = - (r-r ⁰ , v) = (r ⁰ , v) -p> 0.

Q ₀ nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi bilan birga II ning bir tomonida joylashgan bo'lsa, u holda hosil qilingan burchak o'tkir, ya'ni:

D = (r-r ⁰ , v) = r - (r ⁰ , v)> 0.

Natijada, birinchi holatda (r ⁰ , v)> p ikkinchi holatda (r ⁰ , v)

Tejangli tekislik va uning tenglama

M0 xarakterli nuqtada yuzaga tegadigan tekislik, bu nuqtadan sirt ustida chizilgan egri chiziqlarga barcha mumkin bo'lgan tejamkorlikni o'z ichiga olgan tekislikdir.

F (x, y, z) = 0 tenglamasining bu shakli bilan tegangli tekislikning M0 (x, y, z0) teg nuqtasida tengligi quyidagicha bo'ladi:

Fx (x0, y0, z0) (x - x0) + Fx (x0, y0, z0) (y - y0) + Fx (x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Agar z = f (x, y) aniq shaklida sirtni aniqlasak, tegib turgan tekislik quyidagicha ta'riflanadi:

Z - z0 = f (x0, y0) (x - x0) + f (x0, y0) (y - y0).

Ikki samolyotning kesishishi

Uch o'lchamli kosmosda Oxyz koordinata tizimi (to'rtburchaklar) joylashganki, u ikkala qatlam P 'va P "berilib, ular kesib o'tmaydi va bir-biriga to'g'ri kelmaydi. To'rtburchakning koordinatali tizimidagi har qanday tekislik umumiy tenglama bilan aniqlanganligi sababli, P va P "tenglamalari A'x + B'y + C'z + D '= 0 va A" x + B "y + "Z + D" = 0 bilan. Bu holda biz "II" samolyotining oddiy "n" (A ', B', C ') va "II" ning oddiy "n" (A ", B", C ") bor. Bizning samolyotlarimiz parallel emasligi va ular bir-biriga mos kelmasligi sababli, bu vektorlar rangli emas. Matematika tilidan foydalanib, biz bu shartni quyidagicha yozishimiz mumkin: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (l * A", l * B ", l * C"), leR. P va P "kesishmasida joylashgan chiziq a bilan ifodalansin, bu holda a = P '∩ P".

A - II "va II" (umumiy) tekisliklar barcha nuqtalarining to'plamidan tashkil topgan chiziq. Bu satrga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalarini bir vaqtning o'zida A'x + B'y + C'z + D '= 0 va A "x + B" y + C "z + D" = 0 tenglamalariga mos kelishini anglatadi. Shuning uchun nuqta koordinatalari quyidagi tenglamalar tizimining alohida yechimi bo'ladi:

Natijada, bu tenglama tizimining yechimi (oddiy) P 'va P "ning kesishish nuqtasi sifatida harakat qiladigan to'g'ri tekislikning har bir nuqtasining koordinatalarini aniqlaydi va kosmosdagi Oxyz (koordinatali) koordinatali tizimida to'g'ri chiziqni aniqlaydi.