Uchburchak burchaklarining yig'indisi. Uchburchakning burchaklar summasidagi teorema

Uchburchak uch qirrali (uchta burchakli) poligondir. Ko'pincha, tomonlar qarama-qarshi tomonlarni bildiruvchi katta harflarga mos keladigan kichik harflar bilan ifodalanadi. Ushbu maqolada biz bu geometrik shakllarning turlari bilan tanishamiz, bu uchburchakning burchaklarining jami tengligini belgilaydigan teorema.

Burchak turlari

Uch tepalikka ega bo'lgan quyidagi poligon turlari mavjud:

• Burchaklar, barcha burchaklar o'tkir;
• Bir burchakka ega to'rtburchak, uni tashkil etuvchi tomonlar oyoq deb ataladi va o'ng burchakka qarama-qarshi tomonga joylashtiriladi, bu gipotenus deyiladi;
• Bo'sh burchakka burchli bo'lsa;
• Ikkala tomon teng bo'lgan Isoscellar va ular lateral deb ataladi, uchinchisi esa uchburchakning asosidir;
• Ikki tarafga teng, uchta teng tomonga ega.

Xususiyatlar

Har bir uchburchak turiga xos bo'lgan asosiy xususiyatlarni ajratib ko'rsatish:

• Katta tomonning qarshisida har doim katta burchak, va aksincha;
• Teng tomonlarga qarama-qarshi burchaklar, va aksincha;
• Har uchburchakda ikki keskin burchakka ega;
• Tashqi burchakka qo'shni bo'lmagan burchakka nisbatan katta;
• Har qanday ikki burchakning summasi har doim 180 gradusdan kam;
• Tashqi burchakka qolgan ikki burchakning yig'indisi, bunga aralashmaydilar.

Uchburchakning burchaklar summasidagi teorema

Teorema, agar Evklid samolyotida joylashgan geometrik raqamning barcha burchaklarini qo'shsangiz, ularning summasi 180 daraja bo'ladi. Keling, ushbu teoremi isbotlashga harakat qilaylik.

Keling, CMN vertikalari bilan tasodifiy uchburchakni ko'rib chiqaylik. M vertikasi orqali KN to'g'ri chizig'iga parallel to'g'ri chiziq chizamiz (bu to'g'ri chiziq Evklid liniyasi ham deyiladi). Unda biz A nuqtasini K va A nuqtalari MN to'g'ri chizig'ining qarama-qarshi tomonlarida joylashtiramiz. AMN va CNM teng burchakka ega bo'lmoqdamiz, ular ichkaridagi kabi xochda yotadi va parallel ravishda KN va Ma to'g'ri chiziqlar bilan birga MN qismini hosil qiladi. Bundan kelib chiqadiki, M va H tepalarida joylashgan uchburchakning burchaklarining yig'indisi MRA burchagi kattaligiga tengdir. Barcha uch burchak MRA va MKNning burchaklariga teng miqdorni tashkil qiladi. Ushbu burchaklar birlamchi bo'lib, parallel chiziqlar bo'yicha KN va MA ning sekanterm CM bo'lganligi uchun ularning miqdori 180 daraja. Teorema isbotlangan.

Natija

Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijalar keltirilgan: har bir uchburchak ikki burchakli burchakka ega. Buni isbotlash uchun, keltirilgan geometrik shakl faqat bitta burchakka ega deb hisoblang. Bundan tashqari, burchaklarning hech biri o'tkir emas deb taxmin qilish mumkin. Bunday holda kamida ikki burchak bo'lishi kerak, qiymati 90 darajaga teng. Ammo keyin burchak to'plami 180 darajadan oshadi. Va bu bo'lishi mumkin emas, chunki teoremaga ko'ra uchburchakning burchaklari jami 180 ° bo'lib, hech bo'lmaganda kam emas. Buni isbotlash kerak bo'lgan narsa.

Tashqi burchaklar mulki

Tashqi uchburchakning burchaklarining yig'indisi nima? Bu savolning javobini ikki usuldan birini qo'llash orqali olish mumkin. Birinchidan, har bir tepalikda, ya'ni uchta burchakdan olingan burchak to'plamini topish kerak. Ikkinchidan, vertikalardagi olti burchakning summasini topishimiz kerakligini anglatadi. Birinchidan, biz uni birinchi variant bilan aniqlaymiz. Shunday qilib, uchburchak oltita tashqi burchakdan iborat - har bir tepalikda ikkita. Har bir er-xotin teng burchakka ega, chunki ular vertikaldir:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Bundan tashqari, uchburchakning tashqi burchagi unga aralashmagan ikkita ichki yig'indisiga teng bo'lganligi ma'lum. Shuning uchun,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Shundan kelib chiqadiki, har bir vertikalda olinadigan tashqi burchak yig'indisi quyidagicha bo'ladi:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S + ∟A + ∟V + ∟V + ∟S = 2 x (∟A + ∟V + ∟S).

Burchaklarning jami qiymati 180 daraja bo'lganligini hisobga olsak, A + ∟B + ∟C = 180 ° bo'lishi mumkin. Va bu degani, ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Ikkinchi parametr qo'llanilsa, oltita burchak to'plami ikki barobar katta bo'ladi. Ya'ni, uchburchak tashqi burchaklarining yig'indisi quyidagicha bo'ladi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

To'rtburchak uchburchak

O'ng uchburchakning burchaklarining yig'indisi qanday aniq? Bu savolga javob yana, uchburchakdagi burchaklarning 180 daraja ekanligini tasdiqlaydigan teoremadan keladi. Bizning gapimiz (mulk) shunday ko'rinadi: to'rtburchak uchburchakda, summaning keskin burchaklari 90 gradusni beradi. Keling, uning haqiqatini isbotlaylik. Keling, CMN uchburchakini beraylik, ular uchun ∟H = 90 °. ∟K + ∟M = 90 ° ekanligini isbotlash kerak.

Shunday qilib, nazariyalarga ko'ra, burchak to'plamlarining jami ∟K + ∟M + ∟H = 180 °. Bizning holatimizda, ∟H = 90 ° deyiladi. Demak, paydo bo'ladi, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °. Ya'ni, ∟K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. Buni isbotlashimiz kerak.

O'ng burchakli uchburchakning yuqorida bayon qilingan xususiyatlaridan tashqari, quyidagilarni qo'shishingiz mumkin:

• Oyoqlarga yotadigan burchaklar keskindir;
• Gipotenus har qanday oyoqqa nisbatan uchburchakdir;
• Oyoqlarning umumiy miqdori gipotenusdan katta;
• 30 graduslik burchakka qaragan uchburchakning kateterlari yarim gipotenozaning yarmi, ya'ni uning yarmiga tengdir.

Ushbu geometrik shaklning yana bir xususiyati sifatida Pifagor teoremasini farqlash mumkin. U 90 graduslik burchakli (to'rtburchaklar) uchburchakda oyoqlarning kvadratlarining yig'indisi gipotenus maydoniga teng.

Isoscelalar uchburchagi burchaklarining yig'indisi

Avvalroq, biz isoscellar ikki teng qirrali uchta tepalikka ega bo'lgan ko'pburchak ekanligini aytdik. Berilgan geometrik shaklning bunday xususiyati ma'lum: uning asosida burchak tengdir. Buni isbotlaylik.

CNN uchburchagini oling, ya'ni isoscellar, CN uning bazasi. ∟K = ∟H ekanligini isbotlashimiz kerak. Masalan, MA - uchburchak CMNning bisektori. MKA uchburchagi tenglikning birinchi belgisi bilan uchburchak MNKga teng. Masalan, shartga ko'ra, CM = NM, MA keng tarqalgan tomon bo'lib, ∟1 = ∟2, chunki MA - bisector. Ushbu ikki uchburchakning teng huquqliligidan foydalanib, ∟K = ∟H deb ta'kidlashimiz mumkin. Demak, bu teorema isbotlangan.

Lekin biz uchburchakning burchak to'plamlari (isoscellar) bilan qiziqamiz. Bu jihatdan o'ziga xos o'ziga xosliklarga ega bo'lmaganligi sababli, ilgari ko'rib chiqilgan nazariyadan boshlaymiz. Boshqacha aytganda, ∟K + ∟M + ∟H = 180 ° yoki 2 × ∟K + ∟M = 180 ° (∟K = ∟H) ekanligi haqida gap bo'lishi mumkin. Bu xususiyatni isbotlay olmaymiz, chunki uchburchakning burchaklaridagi teorema ilgari isbotlangan.

Uchburchakning burchaklari haqida o'ylangan xususiyatlardan tashqari, bunday muhim bayonotlar ham bor:

• Bir uchburchak uchburchagida, taglikga tushirilgan balandlik bir vaqtning o'zida o'rtacha, ikki tomon orasidagi burchakning bisektori, shuningdek uning bazasining simmetriya o'qi bo'ladi ;
• Bunday geometrik shaklning yon tomonlariga tortilgan medians (bisectrixes, heights) tengdir.

Teng tomonli uchburchak

U shuningdek, deyiladi, bu uchburchakdir, unda barcha tomonlar tengdir. Shuning uchun burchaklar tengdir. Ularning har biri 60 daraja. Bu xususiyatni isbotlaylik.

Bizda CMN uchburchagi mavjud. Bilamizki, KM = HM = KH. Va bu degani, uchburchak uchburchagi tagida joylashgan burchaklar mulkiga ko'ra, = k + M = ∟H. Chunki teoremaga ko'ra uchburchakning burchak to'plami ∟K + ∟M + ∟H = 180 °, undan keyin 3 × ∟K = 180 ° yoki ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟H = 60 ° bo'lishi kerak. Shunday qilib, tasdiqlash isbotlangan. Yuqoridagi dalillardan nazarda tutilganidek , tenglik uchburchagi burchaklarining yig'indisi, boshqa uchburchakning burchaklarining yig'indisi kabi 180 daraja. Bu teoremi isbotlashning hojati yo'q.

Teng tomonli uchburchakga xos xususiyatlar ham mavjud:

• Median, bisector, bunday geometrik shaklda balandlik to'g'ri keladi va ularning uzunligi (a x √3) deb hisoblanadi: 2;
• Agar biz ma'lum poligon atrofida aylana tasvirlab beradigan bo'lsak, uning radiusi (a x √ 3) bo'ladi: 3;
• Teng tomonli uchburchakda doira qo'shsak uning radiusi bo'ladi (a x √3): 6;
• Ushbu geometrik shaklning maydoni quyidagi formula bilan aniqlanadi: (a2 x √3): 4.

Uchburchak uchburchak

Majburiy uchburchakning ta'rifiga ko'ra uning burchaklaridan biri 90 dan 180 daraja oralig'ida. Biroq, bu geometrik shaklning boshqa ikki burchagi keskin bo'lsa, 90 darajadan oshmasligi haqida xulosa qilishimiz mumkin. Natijada, uchburchakning burchak to'plamlarining teoremasi uchburchak uchburchakdagi burchak yig'indisini hisoblashda ishlaydi. Ko'rinib turibdiki, yuqoridagi teoremaga asoslanib, uchburchak uchburchakning burchaklarining jami qiymati 180 daraja bo'lishi mumkin. Shunga qaramay, bu teorema qayta-qayta tasdiqlanishga muhtoj emas.