Tenglama - bu nima? Vaqtning ta'rifi, misollar

Maktab matematikasi jarayonida bola avval "tenglama" atamasini eshitadi. Bu nimani anglatishini birgalikda tushunishga harakat qilaylik. Ushbu maqolada biz echimning turlari va usullarini ko'rib chiqamiz.

Matematika. Tenglama

Avvalo, biz qanday tushunchani tushunishni taklif qilamiz, bu nima? Matematikaning ko'p darsliklari deydiki, tenglama - bu erda mutlaq teng belgisi bo'lgan ba'zi iboralar. Ushbu iboralarda harflar mavjud bo'lib, ularning ma'nosi topiladi.

Argumentlar nima? Bu uning mazmunini o'zgartiradigan tizimning o'ziga xos xususiyati. Argumentlar aniq misoli:

• Havo harorati;
• Bolaning o'sishi;
• Og'irligi va boshqalar.

Matematikada ular harflar bilan belgilanadi, masalan, x, a, b, c ... Odatda matematika vazifasi quyidagicha ko'rinadi: Tenglama qiymatini toping. Bu shuni anglatadiki, ushbu o'zgaruvchining qiymatini topishingiz kerak.

Turlari

Tenglama (oldingi xatboshida qanday qilib ajratilgan bo'lsa) quyidagi shaklda bo'lishi mumkin:

• Lineer;
• Kvadrat;
• Kubik;
• Algebraik;
• Transandantal.

Har xil turlari bilan batafsil tanishish uchun biz har birimizni alohida ko'rib chiqamiz.

Lineer tenglama

Bu maktab o'quvchilarining birinchi turini biladi. Ular juda tez va sodda tarzda hal etiladi. Shunday qilib, lineer tenglama, bu nima? Bu formning ifodasi: ax = c. Shunday qilib, aniq emas, shuning uchun biz bir necha misollarni keltiramiz: 2x = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Keling, tenglamalar misollarini tahlil qilaylik. Buning uchun biz ma'lum bir ma'lumotni bir tomondan, ikkinchisida esa noma'lumlarni to'plashimiz kerak: x = 26/2; X = 40/5; X = 6 / 1.2. Bu erda matematikaning oddiy qoidalaridan foydalanilgan: a = c = e, bu c = e / a; A = e / s. Tenglamani hal etish uchun biz bir ishni bajaramiz (bizning holda, bo'linish) x = 13; X = 8; X = 5. Bular ko'paytirishning misollaridan iborat, endi ularni olib tashlash va qo'shib qo'yish: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Ma'lum ma'lumotlarni bir tomonga o'tkazamiz: x = 9-3; X = 20/10. Biz oxirgi harakatni bajaramiz: x = 6; X = 2.

Bundan tashqari, bir nechta o'zgaruvchining ishlatilishi mumkin bo'lgan lineer tenglamalar variantlari mavjud: 2x-2y = 4. Buni hal qilish uchun har bir qismga 2y qo'shib qo'yishimiz kerak, biz 2x-2y + 2y = 4-2y olamiz, shuni ta'kidlaganimizdek, 2y va + 2y belgilarining chap tomonida, bizda: 2x = 4 -2y. Oxirgi qadam har bir qismni ikkiga ajratadi, biz javobni olamiz: X o'yinni ikkita minusga teng.

Tenglama bilan bog'liq muammolar Ahmess papirosida ham uchraydi. Bu erda vazifalar biri: son va to'rtinchi qismlar jami 15 ni beradi. Uni hal qilish uchun quyidagi tenglama yozamiz: x ortiqcha to'rtinchi x x 15 ga teng. Biz chiziqli tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik, hal qilish natijasida x = 12 bo'ladi. Ammo bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, masalan, Misrlik yoki boshqa yo'l bilan, taxmin qilish usuli. Papirusda quyidagi eritma ishlatiladi: to'rtdan to'rt qismini, ya'ni bitta. Hammasi bo'lib, ular beshta, hozir o'n besh sumni ajratishimiz kerak, uchtasini olamiz, oxirgi harakati esa uchtaga ko'payadi. Biz javobni olamiz: 12. Nima sababdan qarorda o'n beshdan beshga bo'linadi? Shuning uchun biz o'n besh marta, ya'ni beshdan kamroq natijaga erishishimiz kerak bo'lgan natijalarni bilamiz. Bu o'rta asrlarda yuzaga kelgan muammolarni hal qilishning yo'lidir, unga yolg'on uslubi deyiladi.

Kvadrat tenglamalari

Yuqorida keltirilgan misollardan tashqari, boshqalar ham bor. Aynan qanday? Kvadrat tenglama, nima? Ular bolta ² + bx + c = 0 shakliga ega. Ularni hal qilish uchun muayyan tushunchalar va qoidalar bilan tanishishingiz kerak.

Birinchidan, biz diskriminantni quyidagi formula bilan topamiz: b ² -4ac. Qarorning natijasi uchun uchta variant mavjud:

• Diskriminant noldan katta;
• Noldan kichik;
• Nolga teng.

Birinchi variantda biz ikkita ildizdan javob olamiz. Bu formula quyidagi formula bilan topiladi: -b + - diskriminantdan koeffitsient ikki marta birinchi koeffitsientga bo'linadi, ya'ni 2a.

Ikkinchi holda, tenglama hech qanday ildizga ega emas. Uchinchi holda, ildiz quyidagi formula bilan topiladi: -b / 2a.

Batafsilroq tanishuv uchun kvadrat tenglamaning misolini ko'rib chiqaylik: uchta x-kvadrat, minus o'n to'rt x minus besh, nolga teng. Avvalroq biz yozganimizdek, biz diskriminantni izlayapmiz, bizning holatimiz esa 256 ga teng. Qabul qilingan raqam noldan katta ekanligini unutmang, shuning uchun biz ikkita ildizdan iborat javobni olishimiz kerak. Qabul qilingan diskriminantni ildizlarni topishga qaratilgan formulaga o'tkazamiz. Natijada bizda: X - besh va minus uchdan biriga teng.

Kvadrat tenglamalardagi maxsus holatlar

Ba'zi qiymatlar nol (a, b va c), va ehtimol, bir necha misollar.

Masalan, quyidagi kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik: kvadratda ikkita xol, nol bo'lsa, bu erda b va c nol bo'lganligini ko'ramiz. Keling, uni hal qilaylik, buning uchun tenglama ikkala qismini ikkiga ajratamiz, x ² = 0 bo'ladi. Natijada x = 0 ga erishamiz.

Yana bir holat esa 16x2 -9 = 0. Bu erda faqat b = 0 bo'ladi. Tenglikni hal qilamiz, erkin koeffitsientni o'ng tomonga o'tkazamiz: 16x2 = 9, endi har bir qismni o'n oltitaga ajratamiz: x ² = to'qqiz to'qqizinchi. Kvadrat ichida x bo'lganligimiz sababli, 9/16 ning ildizi salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Javob quyidagicha yoziladi: X ortiqcha / to'rtdan to'rt qismga teng.

Javobning varianti ham mumkin, chunki ildiz tengligi yo'q. Misolni ko'rib chiqaylik: 5x2 + 80 = 0, b = 0. Erkin muddatni hal qilish uchun uni o'ng tomonga tashlang, keyin quyidagi harakatlardan foydalanamiz: 5x2 = -80, hozir esa har bir qism beshga bo'linadi: x2 = minus o'n olti. Agar biron-bir raqam kvadratga teng bo'lsa, unda biz salbiy qiymatga ega emasmiz. Shuning uchun bizning javobimiz: ildiz tenglamasi yo'q.

Uch o'lchovli parchalanish

Kvadrat tenglamalarning vazifasi boshqa bir shaklda ham kelishi mumkin: kvadrat trinomiyani ko'paytirgichlarga aylantirish. Bu quyidagi formula yordamida amalga oshirilishi mumkin: a (x-x ₁ ) (x-x ₂ ). Buning uchun, vazifaning yana bir variantida bo'lgani kabi, diskriminantni topish kerak.

Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik: 3x ² -14x-5, trinomiyani ko'paytirgichlarga aylantirish. Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan formulani foydalanib, diskriminantni topamiz, u 256 ga tengdir. Bir vaqtning o'zida 256 noldan katta ekanligini bildiramiz, shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi. Biz ularni oldingi paragrafdagi kabi topamiz: x = besh va minus uchdan biri. Biz trinomiyani ko'paytirish uchun formuladan foydalanamiz: 3 (x-5) (x + 1/3). Ikkinchi braketda biz teng belgini oldik, chunki formulada kam belgisi mavjud va ildiz ham matematikaning elementar bilimlaridan foydalanib, ortiqcha belgimiz borligida. Oddiylik uchun biz fraksiyondan qutulish uchun tenglikning birinchi va uchinchi muddatini ko'paytiramiz: (x-5) (x + 1).

Kvadratga kamaytiradigan tenglamalar

Ushbu bobda biz yanada murakkab tengrlarni echishga o'rganamiz. Keling, misoldan boshlaylik:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. ^Ikki nusxadagi elementlarni farqlashimiz mumkin: (x2 - 2x), uning echimini boshqa o'zgaruvchiga almashtirish qulay bo'ladi, keyin odatdagi kvadrat tenglamani Bu vazifada biz to'rtta ildizni olamiz, bu sizni qo'rqitmasligi kerak. Biz o'zgaruvchining a takrorlanishini bildiramiz. Biz olamiz: ² -2a-3 = 0. Keyingi qadamimiz yangi tenglamaning farqlanishini topishdir. Biz olamiz 16, biz ikki ildiz topamiz: bir va uchdan kam. Eslatib o'tamizki, biz substansiya qildik, biz bu qadriyatlarni o'rniga qo'ydik, oxirida bizda tenglamalar mavjud: x ² - 2x = -1; X ² - 2x = 3. Biz ularni birinchi javobda hal qilamiz: x teng, ikkinchisida: x minus bir va uchga teng. Javobni quyidagicha yozamiz: ortiqcha / minus bir va uchta. Odatda, javoblar ortib boruvchi tartibda yoziladi.

Kubik tenglamalar

Keling, yana bir variantni ko'rib chiqaylik. Kubik tenglamalarni muhokama qilamiz. Ular quyidagi formaga ega: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Tenglama misollari quyida ko'rib chiqamiz, ammo boshidanoq biroz nazariya. Ular uchta ildizga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun kubik tenglama uchun diskriminantni topish uchun formula mavjud.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik: 3x3 + 4x2 + 2x = 0. Buni qanday hal qilish mumkin? Buni amalga oshirish uchun, biz x-ni faqat parantezga qo'yamiz: x (3x2 + 4x + 2) = 0. Biz bajaradigan yagona narsa parantez ichida tenglamaning ildizlarini hisoblash. Qavslar ichidagi kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kam, shuning uchun ifoda ildizga ega: x = 0.

Algebra. Tenglama

Keyingi shaklga o'tamiz. Endi biz qisqacha algebraik tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Vazifalardan biri quyidagicha ifodalanadi: usulni 3x4 + 2x3 + 8x2 + 2x + 5 multiplikatorlariga guruhlash orqali . Eng qulay usul quyidagi guruhlarga bo'linadi: (3x4 + 3x2) + (2x3 + 2x) + (5x2 +5). Birinchi ifodadan 8x2, 3x2 va 5x2 yig'indisi sifatida ifodalanganligini unutmang. Endi biz har bir burchakdan 3x2 (x2 + 1) + 2x (x2 + 1) +5 (x2 + 1) umumiy faktorini chiqaramiz. Ko'rinib turibdiki, bizda umumiy ko'paytma bor: x kvadratda ortiqcha, uni braxetdan chiqaramiz: (x2 + 1) (3x2 + 2x + 5). Keyinchalik ajralish mumkin emas, chunki har ikkala tenglama ham salbiy farq qiladi.

Transandantal tenglamalar

Biz quyidagi turdagi ishlarni taklif qilamiz. Ular transandantal funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalar, ya'ni logaritmik, trigonometrik yoki eksponentsialdir. Misollar: 6sin 2x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 va boshqalar. Trigonometriyadan qanday saboq olishingiz mumkinligi sizni qanday hal qiladi.

Xususiyat

Oxirgi qadam funktsiya tenglamasi tushunchasini ko'rib chiqishdan iborat. Avvalgi versiyalardan farqli o'laroq, ushbu turdagi muammo hal etilmaydi va unda grafik tuziladi. Buning uchun tenglama yaxshi tahlil qilinishi kerak, qurilish uchun barcha kerakli nuqtalarni topish, minimal va maksimal balllarni hisoblash kerak.