Tabiiy son nima? Tarix, doirasi, xususiyatlari

Matematika miloddan oldingi oltinchi asr atrofidagi umumiy falsafadan ajralib turardi. Va shu paytdan boshlab butun dunyoda g'alaba qozondi. Rivojlanishning har bir bosqichi yangi bir narsaga aylandi - boshlang'ich hisob o'zgargan, farqli va integral hisobga aylandi, asrlar o'tgach, formulalar yanada murakkablashdi va "eng murakkab matematikaning boshlanishi - barcha raqamlar undan yo'qolgan" payt keldi. Lekin nima asos bo'ldi?

Boshining boshlanishi

Tabiiy sonlar birinchi matematik operatsiyalar bilan parallel ravishda paydo bo'ldi. Bir marta orqa miya, ikkita ildiz, uchta ildiz paydo bo'lganidan keyin ... Ular birinchi pozitsiyali raqam tizimini yaratgan hind olimlari oldida paydo bo'ldi . «Joylashtiruvchi» so'zi raqamlardagi har bir raqamning joylashgan joyi aniq belgilangan va uning toifasiga to'g'ri kelishini bildiradi. Misol uchun, 784 va 487 raqamlari bir xil sonlardir, lekin raqamlar teng emas, chunki birinchi raqam 7 yuzni tashkil etadi, ikkinchi raqam esa faqat 4 ni tashkil qiladi. Indiansning innovatsiyasi arablar tomonidan tanlab olingan va raqamlarni biz biladigan turlari Endi.

Qadim zamonlarda, raqamlar sirli ma'noga ega bo'lgan, eng buyuk matematik Pifagoras, bu raqam dunyo bilan yaratilishning asosiy elementlari - yong'in, suv, er, havo bilan asoslanadi, deb hisoblashgan. Agar biz hamma narsani matematik tomondan ko'rib chiqsak, unda tabiiy son nima? Tabiiy sonlarning maydoni N tomonidan belgilanadi va butun sonli va musbat raqamlarning cheksiz bir qatorini ifodalaydi: 1, 2, 3, ... + ∞. Noldan tashqari. U asosan ob'ektlarni ro'yxatga olish va buyurtma berish uchun ishlatiladi.

Matematikada tabiiy son nima? Peano aksiomalari

N eri oddiy matematikaning asosli bazasi hisoblanadi. Vaqt o'tishi bilan tamsayıli maydonlarni, oqilona va murakkab sonlarni ajratib ko'rsatildi .

Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning asarlari arifmetikani yanada qurish imkonini berdi, uning rasmiylashtirilishiga erishdi va N. maydon maydonidan tashqaridagi keyingi xulosalar uchun zamin tayyorladi. Tabiiy raqam avval oddiy til bilan aniqlangan, quyida Peano aktsiyasiga asoslangan matematik ta'rif mavjud.

• Birlik tabiiy son hisoblanadi.
• Tabiiy songa mos keladigan raqam tabiiydir.
• Birlikdan oldin tabiiy son yo'q.
• Agar b sonining ikkala soni c va d soni bo'lsa, unda c = d.
• Induksiyadagi aksiyom, bu esa o'z navbatida bunday tabiiy sonni ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi taxminlar 1-raqam uchun to'g'ri bo'lsa, unda bu tabiiy sonlar n-dan n uchun ishlaydigan deb taxmin qilamiz. So'ngra n = 1 tabiiy sonlar maydonidan.

Tabiiy sonlar bo'yicha asosiy operatsiyalar

N sohasi matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, bir qator operatsiyalarning ta'rifi va qiymati doirasi quyida keltirilgan. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar natijalar N raqamini bosib chiqarishga kafolatlanadi va ularning qaysi raqamlarga aloqasi bor. Ularning tabiiyligi etarli. Qolgan raqamli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi shuncha aniq emas va to'g'ridan-to'g'ri ifoda bilan bog'liq bo'lgan raqamlarga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yopiq operatsiyalar:

• Qo'shimcha - x + y = z, bu erda x, y, z maydonga kiritilgan;
• Ko'paytirish - x * y = z, bu erda x, y, z maydonga kiritilgan;
• Ta'rifi - x ^y , bu erda x, y maydonda joylashgan.

«Tabiiy son» degan tushunchani ifodalaydigan natijalar quyidagicha:

• Chiqarish - x - y = z. Tabiiy sonlarning maydoni faqat x ning y dan katta bo'lsa, uni tan oladi;
• Division - x / y = z. Tabiiy sonlar maydoni faqatgina z zaryadsiz qolgan holda, ya'ni butunlay bo'linadigan holatda tan oladi.

N ga tegishli raqamlarning xususiyatlari

Boshqa barcha matematik bahslar quyidagi xususiyatlarga asoslanadi, eng ahamiyatsiz, ammo undan kam ahamiyatli.

• Qo'shishning joy o'zgartirish xususiyati x + y = y + x, bu erda x, y soni N maydoniga kiritilgan. Yoki ma'lum bo'lgan "jami summa joylarning o'zgarishidan o'zgarmaydi".
• Ko'tarishning joy o'zgarishi x * y = y * x, bu erda x, y soni maydonda joylashgan.
• Qo'shishning birlashtiruvchi xususiyati (x + y) + z = x + (y + z), bu erda x, y, z maydonda joylashgan.
• Ko'paytirishning birlashtiruvchi xususiyati (x * y) * z = x * (y * z), bu erda x, y, z soni maydonga kiritilgan.
• Tarqatish xususiyati - x (y + z) = x * y + x * z, bu erda x, y, z soni maydonda joylashgan.

Pifagorlarning jadvali

Shogirdlarning boshlang'ich matematika tuzilishi haqidagi bilimlari dastlabki qadamlaridan biri, ular o'zlari uchun qaysi raqamlar tabiiy deb atalgandan so'ng, Pifagor stolidir. Bu nafaqat fan nuqtai nazaridan, balki eng qimmatbaho ilmiy yodgorlik sifatida ham ko'rish mumkin.

Ushbu ko'paytma jadvali vaqt oralig'ida bir nechta o'zgarishlarni boshdan kechirgan: undan, noldan chiqarilgan va 1dan 10gacha bo'lgan raqamlar buyruqlarni (yuzlab, minglar ...) hisobga olmagan holda o'zlarini ifodalaydi. Bu satrlar va ustunlar sarlavhalari sanaladi va ularning kesishuv hujayralari tarkibi ularning mahsulotiga teng.

So'nggi o'n yilliklarda ta'lim berish amaliyotida Pisagoriya stolini "tartibda" yodlash kerak edi, ya'ni oldin eslab qolish kerak edi. Natijada 1 yoki undan ortiq multiplikator bo'lganligi sababli 1 foizga ko'paytirildi. Ayni paytda, stolda yalang'och ko'z bilan muntazamlikni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti bir qadam bilan o'sib boradi, bu satrning nomiga teng. Shunday qilib, ikkinchi omil, istalgan mahsulotni olish uchun bizga necha marta kerakligini ko'rsatadi. Bu tizim o'rta asrlarda qo'llaniladiganlardan ko'ra qulayroq emas: hatto tabiiy sonning nima ekanligini va qanchalik ahamiyatsiz ekanini tushunib olish, odamlar o'zlarining kundalik hisoblarini qiyinchiliklarga asoslangan tizim yordamida murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi.

Matematika beshigi kabi kichik guruh

Hozirgi vaqtda tabiiy sonlar N maydoni murakkab sonlarning pastki qismlaridan biri sifatida qabul qilinadi, ammo bu ularni ilm-fan sohasida kamroq qiymatga ega qilmaydi. Tabiiyki, bolaning o'zini va uning atrofini o'rganish orqali o'rganadigan birinchi narsa. Bir barmoq, ikkita barmoq ... Uning yordamida odam mantiqiy fikrlashni rivojlantiradi, shuningdek, sababni aniqlash va natijasini chiqarish, kashfiyotlar uchun zamin tayyorlash.