Mayatnik: davri va formula tezlashtirish

yagona tortishish maydonida (uning ommaviy tana og'irligiga nisbatan beparvo) bir vaznsiz inextensible filamanın osilgan moddiy nuqtaga (tanasi), iborat mexanik tizimi, (- osilatörü boshqa nomi) matematik sarkacın chaqirdi. qurilmalar boshqa turlari ham bor. Buning o'rniga bir tola vaznsiz satrini foydalanish mumkin. Mayatnik aniq bir qancha qiziqarli hodisalar mohiyatini ochib mumkin. Qachon uning harakati, kichik amplituda tebranishlar garmonik deyiladi.

mexanik tizimi haqida umumiy ma'lumot

mayatnik tebranish davrining formula (1629-1695 gg.) Gollandiya olimi Gyuygens tarbiyalangan edi. Isaak Nyuton bu zamonaviy mexanik tizimi juda sevar edi. 1656-yilda u mayatnik mexanizmi bilan birinchi soatini yaratgan. Ular o'sha paytlarda uchun juda nozik vaqt o'lchanadi. Bu kashfiyot jismoniy tajribalar va amaliy faoliyatini rivojlantirishda katta qadam bo'ldi.

mayatnik muvozanat holatda (vertikal osilgan) bo'lsa, tortishish kuchi ip kuchlanish kuch bilan muvozanatli bo'lishi etadi. bo'lmagan gerilebilir ip tekis mayatnik aloqa erkinligi ikki daraja bilan bir tizim hisoblanadi. uning barcha qismlari xususiyatlarini o'zgartirish, faqat bir komponentining o'zgaruvchan bo'lsa. bir mavzu tayoq bilan o'zgartirilgan bo'lsa, masalan, keyin bu mexanik tizimi erkinligi faqat 1 daraja bo'ladi. Xo'sh, bir matematik mayatnik xususiyatlari? Bu oddiy tizimida, bir davriy hodisaning ta'siri ostida, betartiblik paydo bo'ladi. to'xtatib turish nuqtasi harakat va mayatnik dalgalandırır emas bu holda, yangi muvozanat joy bor. up va bu mexanik tizim pastga tez tebranishlari "ostin-ustun." barqaror o'rnini bo'lsa Bundan tashqari, uning ismi bor. Bu Kapitza mayatnik deyiladi.

mayatnik xususiyatlari

Mayatnik juda qiziqarli xususiyatlarga ega. Ularning barchasi taniqli fizik qonunlar bilan qo'llab-quvvatlanadi. boshqa har qanday mayatnik salınımının davri kabi tana kattaligi va shakli kabi turli vaziyatlarga bog'liq, bu nuqtaga nisbatan to'xtatib nazaridan va og'irlik markazi, vazn tarqatish orasidagi masofa. tanasi osilib davr ta'rifi juda qiyin bo'ladi, shuning uchun. Quyida berilgan formula qaysi bir oddiy mayatnik, davri hisoblash uchun juda ham osondir. Bu usullarini kuzatish natijasida shunga o'xshash mexanik tizimlarda o'rnatish mumkin:

• yuklarni turli to'xtatib mayatnik bir xil uzunlikdagi, saqlab o'z vazn katta farq qiladi-da, salınımının davri, shu olish, bo'lsa. Binobarin, mayatnik davri yuk og'irligiga bog'liq emas.

tizimi mayatnik bilan kamaya boshlaydi • Agar juda katta emas, lekin har taraflama, u shu davriga o'zgarayapti, lekin har xil amplitüdler da bo'ladi. balansi markazidan og'ishlar bo'lmasa-da, ularning shaklida juda katta tebranishlari garmonik etarli yaqin bo'ladi. Bunday mayatnik davri miltillovchi amplitudali bog'liq emas. mexanik tizimini Bu xususiyat (- vaqt "Izosov" - teng yunon "Chronos" da) isochronism deyiladi.

oddiy mayatnik davri

Bu ko'rsatkich salınımının tabiiy davri ifodalaydi. murakkab formülasyonun qaramay, jarayon o'zi juda oddiy. ip matematik mayatnik L va gravitatsion tezlashtirish g uzunligi, bu qiymat teng bo'lsa:

T = 2π√L / g

hech bir tarzda, tabiiy tebranishlar Kichik davri mayatnik massasi va tebranish amplitudali bog'liq emas. Bu holda, bir matematik mayatnik susayib uzunligi bilan harakat qilib.

matematik mayatnik tebranishlar

Matematik mayatnik oddiy differensial tenglama bilan tasvirlash mumkin bo'lgan, dalgalandırır:

x + ω2 gunoh x = 0,

qaerda x (t) - noma'lum funktsiya (T muvozanatga quyi joydan terish bu burchagi radyan ifodalangan); ω - mayatnik (ω = √g / L, parametrlari belgilangan bir ijobiy doimiy qaerda g - og'irlik jadallashtirish va L - oddiy mayatnik (ishlab chiqarish) uzunligi.

muvozanat holatida (garmonik tenglama) quyidagicha yaqin kichik tebranishini tenglama:

x + ω2 gunoh x = 0

mayatnik tebranish harakati

sinusoid harakat, kichik tebranishini qiladi mayatnik. Ikkinchi tartibi differensial tenglama barcha talablarga va bunday harakati parametrlarini javob beradi. Agar tezlik va keyinchalik mustaqil qattiq belgilanadi koordinatalarini, o'rnatishingiz kerak yo'lini aniqlash uchun:

x = A sin (θ + ωt _0),

qaerda θ ₀ - dastlabki bosqichi, A - salınımının amplitudasi, ω - harakat tenglashishi dan belgilanadi tsiklik chastota.

Mayatnik (katta amplitüdler uchun formula)

Bu mexanik tizimi, katta amplitudali bilan tebranishini amalga, u ko'proq murakkab transport qonunlariga bo'ysunadi. Ular bunday mayatnik uchun formuladan hisoblab chiqilgan:

gunoh x / 2 = U * sek (ωt / u),

qaerda sek - U 1 davriy funksiyalar, va kichik U uchun oddiy trigonometrik sentumga to'g'ri keladi

U = (ε + ω2) / 2ω2,

qaerda ε = E / mL2 (mL2 - mayatnik energiya).

quyidagi formula bilan mayatnik nochiziqli tebranish davri aniqlash:

T = 2π / Ω,

qaerda Ω = π / 2 * ω / 2K (U), K - elliptik ajralmas, π - 3,14.

separatrix sarkacının harakati

Bu dinamik tizim, bir, ikki o'lchovli bosqich makon separatrix traektoriyani chaqirdi. Mayatnik bo'lmagan vaqti-vaqti bilan ketadi. vaqt juda uzoq nuqtasida u nol tezlik tomonga keskin yuqori joydan tomchi, va u asta-sekin qozonmoqda. U oxir-oqibat uning asl joyiga qaytib, to'xtadi.

sarkacın salınım amplitudasi soni Piy yaqinlashsa, u o'zgarishlar tekisligida harakat separatrix yaqin deb aytiladi. Bu holda, mexanik tizimi kichik davriy kuch ta'siri ostida tartibsiz xatti namoyish etadi.

bir burchagi KP bilan muvozanat holatida bir oddiy mayatnik taqdirda tangensial kuch Fτ = -mg gunohning φ tortishish sodir bo'ladi. "Minus" belgisi tangensial butlovchi mayatnik og'ish yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi yo'nalishda qaratilgan, degan ma'noni anglatadi. a radius L bilan doira bo'ylab x mayatnik joyidan olish orqali nazarda qachon uning burchak olish ph = x / L. teng Ikkinchi qonun Isaaka Nyutona, tezlashtirish vektoriga va kuch kerakli qiymatini berish proektsiyasi uchun mo'ljallangan:

mg τ = Fτ = -mg gunoh x / L

Bu nisbati asosida, mayatnik bir nochiziqli tizimi har doim, uning muvozanat holatiga qaytish uchun istagi bir kuch sifatida, almashtirish x, gunoh x / L. proportsional emas, deb ochiq-oydin emas

matematik mayatnik kichik tebranishlarini bajaradi Faqat, u bir monand osilatör bo'ladi. Boshqa so'zlar bilan aytganda, bu muvofiqlik tebranishini amalga qodir mexanik tizimi aylanadi. deyarli 15-20 ° yuritadigan uchun bu yondashuv amal qiladi. katta amplitüdler bilan mayatnik uyg'un emas.

mayatnik kichik tebranishlar uchun Nyutonning qonuni

mexanik tizimi kichik tebranishini bajaradi bo'lsa, 2-Nyutonning qonuni bu kabi paydo bo'ladi:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Shu asosda, biz oddiy mayatnik tangensial tezlashtirish belgisi "minus" bilan siljishiga proporsional bo'ladi, deb xulosa mumkin. Ushbu tizim bir monand osilatör bo'ladi qilurmiz shartidir. joy o'zgartirish va jadallashtirish o'rtasida Module mutanosibligini omil burchak chastotasi maydonni teng:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Bu formula mayatnik Ushbu turdagi kichik tebranishlar tabiiy chastotasini aks ettiradi. Shu asosda,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Hisob-kitoblar energiya saqlash qonun asosida

mayatnik harakatlarini tebranishi xususiyatlari energiya saqlash qonun yordamida tasvirlash mumkin. uni yodda tutish lozim salohiyati energiya bir tortishish sohasida mayatnik bo'ladi:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

To'liq mexanik energiya kinetik va maksimal salohiyati teng: Epmax = Ekmsx = E

Agar tenglama chap va o'ng tomonlarining türevini olib energiya saqlash qonunini, yozdim keyin:

EP + Ek = const

Sobit hosila 0 teng ekan, keyin (E.P. + Ek) '= 0. summasining hosila hosilalarini toplamına tengdir:

EP '= (mg / L * x2 / 2) = mg / 2L * 2x * x' = mg / L * v + Ek '= (mv2 / 2) = m / 2 (v2)' = m / 2 * 2V * v '= mv * α,

shuning uchun:

Mg / L * XV + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Oxirgi formula asosida, biz topish: α = - g / L * x.

matematik mayatnik amaliy dastur

Tezlashtirish bepul yiqilib , chunki sayyora atrofida qobig'ining zichligi emas o'xshash, kenglik bilan farq qiladi. qoyalar yuqori zichligi bilan sodir bo'lsa, u bir oz yuqori bo'ladi. matematik mayatnik tezlashtirish ko'pincha razvedka uchun ishlatiladi. turli minerallar uchun yordam qarashida. Sodda mayatnik tebranishlar sonini sanab, u yer osti boyliklari bilan ko'mir yoki javhari aniqlash mumkin. Bu resurslar bo'sh jinslarning ostidan yotgan ko'proq bir zichligi va vazni bor, deb aslida tufaylidir.

Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx Arximed kabi taniqli olimlari tomonidan ishlatiladigan matematik mayatnik. Ularning ko'pchiligi mexanik tizimi taqdirini va hayot ta'sir qilishi mumkin, deb ishonishgan. Arximed uning hisob-kitoblar bilan matematik sarkacın ishlatiladi. Bugungi kunda, ko'p occultists va mediyumlarning uning bashoratlar amalga oshirish, yoki yo'qolgan Izlash bu mexanik tizimini foydalaning.

mashhur frantsuz astronomi va olim, ularning ilmiy tadqiqotlar uchun Flammarion, shuningdek, bir matematik sarkacın ishlatiladi. U yordamida u yangi sayyora kashf, Tunguska Meteorit paydo, va boshqa muhim voqealarni bashorat qilish ega ekanini iddao qildi. Germaniya Ikkinchi jahon urushi (Berlin) davomida mayatnik ixtisoslashtirilgan instituti bo'lib ishlagan. Bugungi kunda, bunday tadqiqot Parapsychology mavjud Myunxen instituti emas. mayatnik bilan Uning ish "radiesteziey" deb nomlangan ushbu institut xodimlari.